Полилинейность и кососимметричность определителя по столбцам

Обозначим i -й столбец матрицы А че­рез Аⁱ, то есть Аⁱ= . Рассмотрим |A| как функцию от п столбцов матрицы А, то есть |A|= det(А¹,А²,…, Аⁿ).

Теорема. Определитель является линейной функцией от i -го столбца " i (и, следовательно, полилинейной функцией столбцов).

Доказательство. Докажем, что

det(А¹,…,Аⁱ+А¢ ⁱ,…,Аⁿ)= det(А¹,…,Аⁱ,…,Аⁿ)+ det(А¹,…,А¢ ⁱ,…, Аⁿ)

и det(А¹,…,сАⁱ,…,Аⁿ)= с ×det(А¹,…,Аⁱ,…,Аⁿ).

По теореме о разложении определителя по столбцу

|A| = а_1i А_1i+ а_2i А_2i +…+ а_ni А_ni, где все коэффициенты A_ji от i -го столбца не зависят. Поэтому det(А¹,…,Аⁱ+А¢ ⁱ,…,Аⁿ)=

= = + =

= det(А¹,…,Аⁱ,…,Аⁿ) + det(А¹,…,А¢ ⁱ,…, Аⁿ),

det(А¹,…,сАⁱ,…,Аⁿ) = = с =

= с det(А¹,…,Аⁱ,…,Аⁿ).



Теорема. Определитель является кососимметричной функцией столбцов.

Доказательство. Докажем индукцией по п, что если при i ¹ j Аⁱ= А^j, то det(А¹,…,Аⁱ,…,А^j,…,Аⁿ) = 0.

При п =2 утверждение очевидно из формулы для определителя.

Пусть утверждение верно для п –1. Докажем его для п³ 3. Так как п³ 3, то в определителе кроме столбцов Аⁱ= А^j существует столбец А^k, где k ¹ i, k ¹ j. Разложим |A| по k -му столбцу: |A| =(-1)^1+kа_1k M_1k+(-1)^2+kа_2k M_2k+…+(-1)^n+kа_nk M_nk, и в этом разложении во всех определителях M_sk имеется по два одинаковых столбца. Так как порядок всех M_sk равен п -1, то по предположению индукции можно считать, что все M_sk = 0 Þ |A| =0.



Лекция 9.