Решение второй задачи динамики

Для нахождения закона движения точки по заданным силам необходимо дважды проинтегрировать дифференциальные уравнения движения точки, составленные в проекциях на соответствующие координатные оси. Постоянные интегрирования определяются по начальным условиям. В случае прямолинейного движения составляется одно дифференциальное уравнение движения в проекции на ось, совпадающую с направлением движения точки:

, (4.1)

где -- сумма проекций всех сил, приложенных к точке, на координатную ось.

Уравнение (4.1) можно представить в виде

(4.2)

и проинтегрировать дважды.

В решение уравнения входят две произвольные постоянные, которые находятся из начальных условий:

t=0, V_x=V₀, x=x₀.

За начальный момент времени принимается момент начала движения точки под действием заданных сил, для которого известны положение точки и ее скорость.

Введение начальной скорости учитывает влияние на ее движение сил, действующих на материальную точку до того времени, который принят за начальный момент времени. Например, скорость электровоза в момент начала торможения, принимается за начальный момент, учитывает результат действия на него силы тяги и силы трения о поверхность рельсов до момента выключения реостата.

при решении второй задачи динамики применительно к материальной точке необходимо придерживаться следующей последовательности:

1. изобразить точку в текущий момент времени;

2. показать активные силы, действующие на точку;

3. освободить точку от связей, заменяя их действие соответствующими реакциями;

4. выбрать систему координат; начало координат следует поместить в начальном положении точки, и оси координат направить так, чтобы координаты точки и проекции ее скорости на эти оси в текущий момент времени были положительными, если точка движется прямолинейно, то координатную ось следует направить вдоль траектории движения; если точка движется по криволинейной траектории, то целесообразно использовать естественную систему координат, совместив начало координат с текущим положением точки и направив касательную к траектории так, чтобы для текущего положения точки естественная координата и проекция скорости точки на касательную были положительными;

5. найти сумму проекций всех сил, действующих на точку, на выбранные оси координат;

6. составить дифференциальные уравнения движения точки;

7. проинтегрировать дифференциальные уравнения соответствующим методом, зависящим от вида полученных уравнений;

8. установить начальные условия движения материальной точки;

9. определить произвольные постоянные интегрирования;

10. подставить произвольные постоянные в результат интегрирования, выразив затем уравнение движения точки.

Произвольные постоянные интегрирования можно определять по мере их появления. В некоторых случаях при интегрировании дифференциальных уравнений удобно пользоваться определенными интегралами.

Рассмотрим решение второй (основной) задачи динамики для случаев прямолинейного движения точки под действием следующих сил:

а. сила постоянна по модулю;

б. сила зависит от времени;

в. сила зависит от положения точки;

г. сила зависит от скорости.

ПРИМЕР 3.

Груженый самосвал начинает спускаться с горы с выключенным двигателем (рис. 4), имея начальную скорость V₀=10м/с. Найти, за какое время автомобиль закончит спуск, если длина участка l=1000м, коэффициент трения f=0,2, = .

РЕШЕНИЕ.

1. Принимаем автомобиль за материальную точку и изображаем ее в текущий момент времени.

2. Изображаем силы, действующие

на точку:

-- вес автомобиля с грузом.

Реакцию шероховатой опорной

поверхности раскладываем на две

составляющие:

-- нормальное давление;

-- сила трения скольжения;

Fтр=fN, N=Pcos , Fтр=fPcos .

3. выбираем систему координат, как показано на рис. 4.

4. Так как автомобиль движется по прямолинейному участку пути, составляем одно дифференциальное уравнение движения в проекциях на ось x:

(1)

или . (2)

После сокращения m и разделения переменных получим

dV_x=g(sin -fgcos )dt. (3)

Интегрируя дважды полученное уравнение, получаем:

V_x=g(sin -fgcos ) t C₁; (4)

x=g(sin -fgcos ) +C₁t+C₂. (5)

5. Начальные условия движения:

при t=0, V₀=10м/с, х₀=0.

6. Определяем произвольные постоянные С₁ и С₂, подставляя начальные условия в уравнения (4) и (5):

из уравнения (4): V₀=C₁;

из уравнения (5): С₂=0.

7. Следовательно, закон движения автомобиля на наклонном участке пути имеет вид

x=g(sin -fgcos ) +V₀t. (6)

Зная пройденный автомобилем путь, равный l, находим время движения t₁:

при t=t₁ x=l;

1000=9,81(sin - ) +10t₁

или 0,16 . (7)

Решая квадратное уравнение (7), получаем:

;

t₁=75,9 с.

ПРИМЕР 4.

Машинист тепловоза начинает тормозить на прямолинейном участке пути (рис. 5), когда тепловоз имеет скорость V₀. Сколько времени будет двигаться тепловоз до полной остановки и какой пройдет путь, если сила торможения пропорциональна времени (a—постоянный коэффициент).

РЕШЕНИЕ.

1. Так как тепловоз движется поступательно, можно рассматривать движение одной его точки, считая, что к ней приложены все заданные силы: сила тяжести , нормальная реакция рельсов и сила торможения .

2. За начало отсчета принимаем момент начала торможения, когда скорость тепловоза V=V₀.

3. Составим дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось x:

(1)

или . (2)

Разделим уравнение (2) на m и, разделив переменные, дважды проинтегрируем

; (3)

. (4)

3. Определим постоянные интегрирования по начальным условиям при t=0, V_x=V₀, x₀=0;

из уравнения (1) получим C₁=V₀;

из уравнения (2): С₂=0.

4. Следовательно, закон движения тепловоза на участке торможения имеет вид

. (5)

5. Время торможения найдем из уравнения (3) при условии, что в конце участка торможения скорость тепловоза равна 0.

, откуда .

Длину участка торможения найдем из уравнения (5)

.

ПРИМЕР 5.

Глубину реки измеряют грузом, опускаемым в воду до дна реки. При скорости груза V₀ трос оборвался, и груз достиг дна через t секунд после момента обрыва троса.

Определить пройденный грузом путь Н, если при движении груз испытывает сопротивление R_x=-kmV, где m—масса груза, k—постоянный коэффициент. Силой выталкивания груза из воды пренебречь.

РЕШЕНИЕ.

1. За начало отсчета принимаем точку О, соответствующую положению груза в момент обрыва троса. Ось х направим в сторону движения груза.

2. Покажем все силы, действующие на груз во время движения в сопротивляющейся среде: силу тяжести и силу сопротивления , направленную противоположно скорости груза.

3. Составим дифференциальные уравнения движения груза в проекции на ось х:

(1)

или . (2)

Рисунок 6

Разделим уравнение (2) на m и проинтегрируем, разделяя переменные

,

. (3)

Определим постоянную интегрирования С₁, принимая во внимание, что при t=0 V_x=V₀,

. (4)

С учетом (4) уравнение (3) примет вид . (5)

Откуда . (6)

Уравнение (6) устанавливает зависимость скорости движения груза в сопротивляющейся среде от времени. Заменяя и разделяя переменные, получаем:

. (7)

После интегрирования уравнения (7) получим

. (8)

Постоянную интегрирования С₂ определим из начальных условий. При t=0 x=x₀, С₂= , тогда уравнение (8) имеет вид

. (9)

Путь Н, пройденный грузом, найдем из условия, что при t=T x=H, тогда

.

Дифференциальные уравнения описывают движение материального объекта до тех пор, пока на него действуют силы, входящие в правую часть этих уравнений. Если в какой-либо момент времени действие этих сил изменяется или прекращается, то для описания последующего движения нужно составлять новые дифференциальные уравнения движения. Начальными условиями нового движения будут скорость и координаты тела в конце предшествующего движения.

ПРИМЕР 6.

Груз D массой m=4,5кг, получив в точке А начальную скорость V₀, движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости (рис. 7). Участок АВ наклонен к горизонтали под углом , участок ВС горизонтальный.

На участке АВ на груз кроме силы тяжести действует постоянная сила Q=9Н и сила сопротивления . В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на тело кроме силы тяжести действуют сила трения (коэффициент трения груза о трубу f=0,2) и переменная сила F_x=3sin(2t).

Считая груз материальной точкой и зная время его движения на участке АВ t₁=3c, найти закон движения груза на участке ВС.

РЕШЕНИЕ.

1. Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Составим дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось z: , (1) (2)

Рисунок 7

или . (3)

Разделим обе части уравнения (3) на m и введем обозначения

; ; ;

Тогда уравнение (3) примет вид . (4)

Разделив переменные и проинтегрировав уравнение (4), получим

; . (5)

При t=0 ;

; .

При t=t₁ V_z=V_B, т.е. м/с.

2. Рассмотрим движение точки на участке ВС. Составим дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось х:

(6)

F_тр=fN₂, где N₂=P. Тогда (:m)

. (7)

При t=0 V_x=V_B;

; С₂=5,77.

Тогда . (8)

Учитывая, что и разделяя переменные, получаем

;

.

При t=0 x=0, C₃=0. Тогда

.