Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Решение второй задачи динамики
Для нахождения закона движения точки по заданным силам необходимо дважды проинтегрировать дифференциальные уравнения движения точки, составленные в проекциях на соответствующие координатные оси. Постоянные интегрирования определяются по начальным условиям. В случае прямолинейного движения составляется одно дифференциальное уравнение движения в проекции на ось, совпадающую с направлением движения точки: , (4.1) где -- сумма проекций всех сил, приложенных к точке, на координатную ось. Уравнение (4.1) можно представить в виде (4.2) и проинтегрировать дважды. В решение уравнения входят две произвольные постоянные, которые находятся из начальных условий: t=0, Vx=V0, x=x0. За начальный момент времени принимается момент начала движения точки под действием заданных сил, для которого известны положение точки и ее скорость. Введение начальной скорости учитывает влияние на ее движение сил, действующих на материальную точку до того времени, который принят за начальный момент времени. Например, скорость электровоза в момент начала торможения, принимается за начальный момент, учитывает результат действия на него силы тяги и силы трения о поверхность рельсов до момента выключения реостата. при решении второй задачи динамики применительно к материальной точке необходимо придерживаться следующей последовательности: 1. изобразить точку в текущий момент времени; 2. показать активные силы, действующие на точку; 3. освободить точку от связей, заменяя их действие соответствующими реакциями; 4. выбрать систему координат; начало координат следует поместить в начальном положении точки, и оси координат направить так, чтобы координаты точки и проекции ее скорости на эти оси в текущий момент времени были положительными, если точка движется прямолинейно, то координатную ось следует направить вдоль траектории движения; если точка движется по криволинейной траектории, то целесообразно использовать естественную систему координат, совместив начало координат с текущим положением точки и направив касательную к траектории так, чтобы для текущего положения точки естественная координата и проекция скорости точки на касательную были положительными; 5. найти сумму проекций всех сил, действующих на точку, на выбранные оси координат; 6. составить дифференциальные уравнения движения точки; 7. проинтегрировать дифференциальные уравнения соответствующим методом, зависящим от вида полученных уравнений; 8. установить начальные условия движения материальной точки; 9. определить произвольные постоянные интегрирования; 10. подставить произвольные постоянные в результат интегрирования, выразив затем уравнение движения точки. Произвольные постоянные интегрирования можно определять по мере их появления. В некоторых случаях при интегрировании дифференциальных уравнений удобно пользоваться определенными интегралами. Рассмотрим решение второй (основной) задачи динамики для случаев прямолинейного движения точки под действием следующих сил: а. сила постоянна по модулю; б. сила зависит от времени; в. сила зависит от положения точки; г. сила зависит от скорости. ПРИМЕР 3. Груженый самосвал начинает спускаться с горы с выключенным двигателем (рис. 4), имея начальную скорость V0=10м/с. Найти, за какое время автомобиль закончит спуск, если длина участка l=1000м, коэффициент трения f=0,2, = .
РЕШЕНИЕ. 1. Принимаем автомобиль за материальную точку и изображаем ее в текущий момент времени. 2. Изображаем силы, действующие на точку: -- вес автомобиля с грузом. Реакцию шероховатой опорной поверхности раскладываем на две составляющие: -- нормальное давление;
-- сила трения скольжения; Fтр=fN, N=Pcos , Fтр=fPcos . 3. выбираем систему координат, как показано на рис. 4. 4. Так как автомобиль движется по прямолинейному участку пути, составляем одно дифференциальное уравнение движения в проекциях на ось x: (1) или . (2) После сокращения m и разделения переменных получим dVx=g(sin -fgcos )dt. (3) Интегрируя дважды полученное уравнение, получаем: Vx=g(sin -fgcos ) t C1; (4) x=g(sin -fgcos ) +C1t+C2. (5) 5. Начальные условия движения: при t=0, V0=10м/с, х0=0. 6. Определяем произвольные постоянные С1 и С2, подставляя начальные условия в уравнения (4) и (5): из уравнения (4): V0=C1; из уравнения (5): С2=0. 7. Следовательно, закон движения автомобиля на наклонном участке пути имеет вид x=g(sin -fgcos ) +V0t. (6) Зная пройденный автомобилем путь, равный l, находим время движения t1: при t=t1 x=l; 1000=9,81(sin - ) +10t1 или 0,16 . (7) Решая квадратное уравнение (7), получаем: ; t1=75,9 с.
ПРИМЕР 4. Машинист тепловоза начинает тормозить на прямолинейном участке пути (рис. 5), когда тепловоз имеет скорость V0. Сколько времени будет двигаться тепловоз до полной остановки и какой пройдет путь, если сила торможения пропорциональна времени (a—постоянный коэффициент). РЕШЕНИЕ. 1. Так как тепловоз движется поступательно, можно рассматривать движение одной его точки, считая, что к ней приложены все заданные силы: сила тяжести , нормальная реакция рельсов и сила торможения . 2. За начало отсчета принимаем момент начала торможения, когда скорость тепловоза V=V0. 3. Составим дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось x: (1) или . (2) Разделим уравнение (2) на m и, разделив переменные, дважды проинтегрируем ; (3) . (4) 3. Определим постоянные интегрирования по начальным условиям при t=0, Vx=V0, x0=0; из уравнения (1) получим C1=V0; из уравнения (2): С2=0. 4. Следовательно, закон движения тепловоза на участке торможения имеет вид . (5) 5. Время торможения найдем из уравнения (3) при условии, что в конце участка торможения скорость тепловоза равна 0. , откуда . Длину участка торможения найдем из уравнения (5) .
ПРИМЕР 5. Глубину реки измеряют грузом, опускаемым в воду до дна реки. При скорости груза V0 трос оборвался, и груз достиг дна через t секунд после момента обрыва троса. Определить пройденный грузом путь Н, если при движении груз испытывает сопротивление Rx=-kmV, где m—масса груза, k—постоянный коэффициент. Силой выталкивания груза из воды пренебречь. РЕШЕНИЕ.
1. За начало отсчета принимаем точку О, соответствующую положению груза в момент обрыва троса. Ось х направим в сторону движения груза. 2. Покажем все силы, действующие на груз во время движения в сопротивляющейся среде: силу тяжести и силу сопротивления , направленную противоположно скорости груза. 3. Составим дифференциальные уравнения движения груза в проекции на ось х: (1) или . (2)
Разделим уравнение (2) на m и проинтегрируем, разделяя переменные , . (3) Определим постоянную интегрирования С1, принимая во внимание, что при t=0 Vx=V0, . (4) С учетом (4) уравнение (3) примет вид . (5) Откуда . (6) Уравнение (6) устанавливает зависимость скорости движения груза в сопротивляющейся среде от времени. Заменяя и разделяя переменные, получаем: . (7) После интегрирования уравнения (7) получим . (8) Постоянную интегрирования С2 определим из начальных условий. При t=0 x=x0, С2= , тогда уравнение (8) имеет вид . (9) Путь Н, пройденный грузом, найдем из условия, что при t=T x=H, тогда . Дифференциальные уравнения описывают движение материального объекта до тех пор, пока на него действуют силы, входящие в правую часть этих уравнений. Если в какой-либо момент времени действие этих сил изменяется или прекращается, то для описания последующего движения нужно составлять новые дифференциальные уравнения движения. Начальными условиями нового движения будут скорость и координаты тела в конце предшествующего движения.
ПРИМЕР 6. Груз D массой m=4,5кг, получив в точке А начальную скорость V0, движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости (рис. 7). Участок АВ наклонен к горизонтали под углом , участок ВС горизонтальный. На участке АВ на груз кроме силы тяжести действует постоянная сила Q=9Н и сила сопротивления . В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на тело кроме силы тяжести действуют сила трения (коэффициент трения груза о трубу f=0,2) и переменная сила Fx=3sin(2t). Считая груз материальной точкой и зная время его движения на участке АВ t1=3c, найти закон движения груза на участке ВС. РЕШЕНИЕ.
или . (3) Разделим обе части уравнения (3) на m и введем обозначения ; ; ; Тогда уравнение (3) примет вид . (4) Разделив переменные и проинтегрировав уравнение (4), получим ; . (5) При t=0 ; ; . При t=t1 Vz=VB, т.е. м/с. 2. Рассмотрим движение точки на участке ВС. Составим дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось х: (6) Fтр=fN2, где N2=P. Тогда (:m) . (7) При t=0 Vx=VB; ; С2=5,77. Тогда . (8) Учитывая, что и разделяя переменные, получаем ; . При t=0 x=0, C3=0. Тогда . Date: 2015-09-24; view: 2399; Нарушение авторских прав |