Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Тема 11. Гильбертовы пространства и обобщенные ряды Фурье1. Понятие гильбертова пространства. 2. Ортогональные системы векторов в гильбертовом пространстве. 3. Критерий полноты ортогональной системы. 4. Ряды Фурье в гильбертовых пространствах. См. список литературы: [1, гл. 1, 2]. Краткие теоретические сведения Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если каждой паре его элементов поставлено в соответствие вещественное число, обозначаемое и называемое скалярным произведением так, что выполняются следующие аксиомы: 1) тогда и только тогда, когда х ≡ 0; 2) ; 3) для любого ; 4) . Множество Н называется нормированным пространством, если каждому элементу х пространства Н ставится в соответствие действительное число, называемое нормой этого элемента и обозначаемое , которое удовлетворяет следующим условиям (аксиомам нормы): 1) ; 2) ; 3) , . Из неравенства Коши – Буняковского вытекает, что в евклидовом пространстве можно ввести норму элемента х равенством: . Последовательность элементов { хn } линейного нормированного пространства сходится к х, если . Определенная таким образом сходимость называется сходимостью по норме. Последовательность { хn } нормированного пространства называется фундаментальной, если при , т.е. . Лемма: Всякая сходящаяся в нормированном пространстве последовательность является фундаментальной. Нормированное пространство называется полным (или пространство называется полным в норме), если в нем сходится всякая фундаментальная последовательность. Бесконечномерное пространство Н со скалярным произведением называется гильбертовым, если оно является полным по метрике или полным в этой норме . Например, евклидово пространство является гильбертовым. Углом между ненулевыми элементами вещественного гильбертова пространства называется угол такой, что . Элементы называют ортогональными, если . Система ненулевых элементов называется ортогональной, если при . Ортогональная система называется полной, если любой элемент х из Н может быть представлен в виде так называемого ряда Фурье: , где – коэффициенты Фурье ().
Задачи 137. Проверить, что следующие векторные пространства являются гильбертовыми: 1) со скалярным произведением где ; 2) со скалярным произведением . 138. В линейном пространстве непрерывно дифференцируемых на отрезке функций положим . Является ли данное пространство гильбертовым? 139. Доказать существование ортонормального базиса в любом гильбертовом пространстве. 140. Пусть – ортогональная система в гильбертовом пространстве Н, . Доказать, что . 141. Установить, что размерность гильбертова пространства не зависит от выбора ортонормального базиса. 142. Проверить, что изоморфизм гильбертовых пространств Н и Н 1 имеет место тогда и только тогда, когда .
|