Тема 9. Полнота метрических пространств

1. Полные метрические пространства.

2. Полнота пространств Rⁿ, C_[a,b].

См. список литературы: [1, гл. 3.5]; [4, гл. 7.3 – 7.6].

Краткие теоретические сведения

Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной, если при , т.е. .

Метрическое пространство М называется полным, если в нем каждая фундаментальная последовательность сходится, т.е. если – фундаментальная, то существует , такая, что .

Задачи

124. Пусть – метрика множества Х. Доказать, что функции , , также являются метриками этого множества. Являются ли полными полученные метрические пространства, если в метрике множество Х – полное метрическое пространство?

125. Доказать, что следующие множества с заданными на них метриками являются полными метрическими пространствами:

1) множество числовых последовательностей , удовлетворяющих условию , с метрикой ;

2) множество числовых последовательностей , удовлетворяющих условию , с метрикой ;

3) множество C_{[ a,b ]} всех непрерывных на отрезке [ a, b ] функций с метрикой ;

4) множество СВ(a,b) всех ограниченных непрерывных на интервале (a,b) функций с метрикой ;

5) множество В(a,b) всех ограниченных функций на интервале (a,b) с метрикой .

126. Будет ли полным метрическим пространством вещественная прямая с метрикой:

а) ; б) ; в) ?

127. Показать, что множество рациональных чисел не является полным метрическим пространством, если расстояние между двумя числами определено формулой .

128. Показать, что множество иррациональных чисел не является полным метрическим пространством, если расстояние между двумя числами определено формулой .

129. Доказать, что всякое замкнутое множество Е точек полного метрического пространства М является полным метрическим пространством, если расстояние между точками множества Е определяется так же, как и в пространстве М.