Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Тема 3. Замкнутые и открытые множества1. Понятие предельной точки. Примеры. 2. Замкнутые множества. Их свойства. Примеры. 3. Открытые множества. Их свойства. Примеры. 4. Совершенные множества. См. список литературы: [4, гл. 2.4 – 2.8]; [5, гл. 2.1 – 2.3]. Краткие теоретические сведения Пусть x, y E. Неотрицательная функция (х, у), ставящая в соответствие любой паре элементов х, у множества Е некоторое неотрицательное действительное числои удовлетворяющая трем аксиомам: 1. ( (х, у) = 0) (х = у) – аксиома тождества; 2. (х, у) = (у, х) – аксиома симметрии; 3. (х, у) (х, z) + (z, у) – аксиома треугольника, называется расстоянием между элементами х и у (или метрикой множества Е). Множество, на котором определена метрика, называется метрическим пространством. Далее рассматриваются только линейные множества, т.е. множества точек числовой прямой R. Метрика этого пространства: (х, у) = . Окрестностью точки х0 называется множество всех точек х метрического пространства, удовлетворяющих условию: (х, х0) < . Число > 0 называется радиусом окрестности. Пусть Е R. Точка х0 R называется предельной точкой множества Е, если в любой окрестности точки х0 содержится хотя бы одна точка х Е, отличная от х0. Из определения следует, что в любой окрестности предельной точки содержится бесконечное множество точек из Е. Множество всех предельных точек множества Е называется производным множеством и обозначается Е . Множество = Е Е называется замыканием множества Е. Если Е Е, то множество Е называется замкнутым. Если Е Е , то множество Е называется плотным в себе. Если Е = Е , то Е называется совершенным множеством. Точка х0 Е называется изолированный точкой множества Е, если существует окрестность , не содержащая ни одной отличной от х0 точки множества Е, т.е.: . Точка х0 Е называется внутренней точкой множества Е, если существует окрестность точки х0, такая что . Множество всех внутренних точек множества Е называется внутренностью множества Е и обозначается Int(E). Множество, все точки которого внутренние, называется открытым. Задачи 41. Найти предельные точки множеств: а) {1, , , …, , …}; б) A = ; в) A = ; г) A = (0; 2) (-1; 1); д) A = [0;2) (-1; 0]. 42. Пусть Е – производное множество множества Е. Доказать, что а Е тогда и только тогда, когда существует окрестность S точки а такая, что E – бесконечное множество. 43. Доказать, что конечное множество не имеет предельных точек. 44. Доказать, что а Е \ Е тогда и только тогда, когда существует такая окрестность , что Е S = { a }. 45. Пусть Е – некоторое множество точек, расстояние между которыми . Доказать, что Е не имеет предельных точек. 46. Доказать, что производное множество Е любого бесконечного множества Е замкнуто. 47. Докажите эквивалентность следующих условий: а) Е – замкнуто; б) Е = . 48. Докажите, что а) (А В) = А В ; б) (А В) = А В ; в) А \ В (А \ В) ; г) А А . 49. Заполните следующую таблицу:
50. Пусть – замыкание множества А. Доказать, что: а) = ; б) = ; в) А ; г) ; д) (А В) ( ); е) . 51. Доказать, что если А = и В = , то = . 52. Пусть Int(E) – внутренность множества Е. Доказать, что: а) Int(E) Е; б) Int(Int(E)) = Int(E); в) Int(E1 Е2) = Int(E1) Int(Е2); г) (Е1 Е2) (Int(E1) Int(Е2)). 53. Пусть f(x) – непрерывна на замкнутом множестве. Доказать, что множество решений неравенства f(x) a – замкнуто. 54. Пусть Gi (i = 1, 2, …, n) – открытые множества. Доказать, что: а) – открыто; б) – открыто. 55. Доказать, что сумма любого числа открытых множеств открыта. 56. Пусть F i (i = 1, 2, …, n) – замкнутые множества. Доказать, что: а) – замкнуто; б) – замкнуто. 57. Доказать, что пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто. 58. Привести примеры: а) счетного множества открытых множеств, пересечение которых не является открытым множеством; б) счетного множества замкнутых множеств, объединение которых не является замкнутым множеством.
|