Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Тема 4. Строение линейных множеств1. Структура линейных открытых множеств. 2. Структура линейных замкнутых множеств. 3. Канторово совершенное множество и его свойства. 4. Мощность совершенного множества. См. список литературы: [4, гл. 2.6 – 2.10]; [5, гл. 2.5 – 2.6]. Краткие теоретические сведения Разделив на три части точками и отрезок [0; 1], удалим из него интервал (; ). Разделив каждый из двух оставшихся отрезков на три части, удалим средние интервалы: (; ) и (; ). Далее делим на три равные части оставшиеся четыре отрезка и удалим из них средние интервалы (рис. 1). Продолжим процесс неограниченно.
Рис. 1 В результате из отрезка [0; 1] удалим открытое множество G0 = . При этом останется множество P0 = [0; 1] \ G0, являющееся совершенным. Множества P0 и G0 – называются множествами Кантора.
Задачи 59. Доказать, что любое открытое множество можно представить в виде суммы счетного множества интервалов с рациональными концами. 60. Доказать, что открытое ограниченное множество можно представить в виде суммы не более чем счетного множества попарно непересекающихся интервалов. 61. Доказать, что каждое открытое непустое ограниченное множество можно представить в виде суммы счетного множества отрезков. 62. Доказать, что прямую нельзя представить в виде суммы счетной совокупности попарно непересекающихся отрезков. 63. Можно ли представить интервал (a; b) в виде суммы счетного множества попарно непересекающихся отрезков? 64. Можно ли представить отрезок [ a; b ] в виде суммы счетной совокупности попарно непересекающихся отрезков? 65. Доказать, что замкнутое множество Е совершенно тогда и только тогда, когда в нем нет изолированных точек. 66. На прямой даны отрезок [ a; b ] и совершенное множество Е, причем концы отрезка не принадлежат Е. Доказать, что множество Е [ a; b ] является совершенным. 67. Точки совершенного канторова множества Р0 подразделяются на точки «первого рода», являющиеся концами смежных интервалов, и точки «второго рода», не являющиеся концами смежных интервалов. а) Какова арифметическая структура точек «первого» и «второго» рода канторова множества Р0? б) Найти какую-либо точку «первого рода» множества Р0, заключенную между числами 0,1 и 0,2. в) Найти какую-либо точку «второго рода» множества Р0, заключенную между числами 0,05 и 0,1. г) Определить мощность множества точек «первого рода» множества Р0. д) Определить мощность множества точек «второго рода» множества Р0. е) Найти замыкание множества точек «первого рода» и замыкание множества точек «второго рода» множества Р0. 68. Пусть G0 – канторово множество и а [0; 1]. Показать, что а G0 тогда и только тогда, когда а невозможно разложить в троичную дробь без помощи единицы. 69. Пусть Р0 – канторово совершенное множество и а [0; 1]. Показать, что а Р0 тогда и только тогда, когда а можно разложить в троичную дробь без помощи единицы. 70. а) Какие из чисел принадлежат множеству Р0? б) Показать, что Int(P0) = Ø. в) Показать, что = [0; 1]. 71. Множество Е называется плотным на множестве А, если замыкание включает А, т.е. А. Показать, что G0 плотно на [0; 1]. 72. Множество Е называется нигде не плотным на прямой, если между любыми двумя числами из Е лежит промежуток чисел, не входящих в Е. Доказать, что множество Р0 нигде не плотно на прямой. 73. На прямой даны интервал (α; β) и совершенное, нигде не плотное множество Е. Доказать, что их пересечение является либо совершенным множеством, либо счетной совокупностью попарно непересекающихся совершенных множеств. 74. На прямой даны два совершенных, нигде не плотных множества P и Q. Доказать, что разность этих множеств P \ Q является либо совершенным множеством, либо суммой счетного множества попарно непересекающихся совершенных множеств. 75. Канторовы множества Pα и Gα. Пусть α – произвольное положительное число из интервала (0; 1). Удалим из отрезка [0; 1] интервал длины с центром в точке . Из оставшихся отрезков и удалим средние интервалы длины . Процесс продолжим неограниченно. В результате из отрезка удалим открытое множество Gα, останется совершенное множество Pα. Множества Pα и Gα также называются множествами Кантора. а) Доказать, что Int(Pα) = Ø; б) Показать, что = [0; 1].
|