Вторая теорема разложения

Пусть изображение Лапласа является правильной дробью:

Тогда оригиналом является функция , где

Сумма вычетов берется по всем особым точкам, лежащим в конечной части комплексной плоскости.

Если изображение является неправильной дробью, то необходимо выделить целую часть и при нахождении оригинала использовать свойство линейности.

Пример 2.

Так как дробь правильная, сразу находим особые точки: , которые являются простыми полюсами. Сумму вычетов в комплексно сопряженных точках удобно находить по формуле:

| + | = | .

Пример 3. =

Пример 4. =

ТАБЛИЦА: ОСНОВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА И ИХ СВОЙСТВА

ЗАДАЧИ

1. Найдите изображение по оригиналу , используя определение преобразований Лапласа.

Ответы:

1. ,

2.

2. Найдите изображение по оригиналу, используя таблицу и свойства преобразований Лапласа.

4. Преобразования Лапласа: восстановите оригинал по изображению

	Ответ:

6. Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операторным методом

Задача Коши для линейного уравнения:

состоит в нахождении частного решения y(t) по заданным начальным условиям

Полагаем, что правая часть уравнения x(t) и искомая функция y(t) являются оригиналами. Тогда для них существует преобразование Лапласа:

Применяя правило дифференцирования оригинала

................................

и используя свойство линейности, переходим в исходном дифференциальном уравнении от оригиналов к изображениям. При этом исходное дифференциальное уравнение переходит в алгебраическое уравнение относительно :

Тогда

B этом выражении стоящий в знаменателе многочлен называется характеристическим многочленом, а функция выражает влияние начальных условий.

Решение исходного дифференциального уравнения получаем, возвращаясь к оригиналам .

Пример 5. Найти частное решение уравнения

Переходя к изображениям ,

получаем операторное уравнение

и его решение

Переходя к оригиналам, получаем искомое решение:

При решении операторным способом правая часть уравнения может быть задана функцией, имеющей точки разрыва 1-го рода.

Пример 6. Найти частное решение уравнения, для которого правая часть приведена на рис.

Переходя к изображениям:

получаем алгебраическое уравнение

Тогда решение запишется в виде:

Переходя к оригиналам и используя свойство запаздывания оригинала, получаем решение:

Результат записывается следующим образом: