Наслідки теореми 30

4 Див. доведення теор. 30. 3

1) Скінченне поле містить примітивних елементів (φ – функція Ейлера).

4Якщо – примітивний елемент , то примітивними будуть також всі степені , де (, і тільки вони. 3

2) – примітивний елемент тоді і тільки тоді, коли для всіх , де – прості дільники числа .

3) Якщо F_r – скінченне розширення поля , то F_r є простим алгебраїчним розширенням і твірним елементом цього розширення може служити будь-який примітивний элемент F_r.

4Нехай – примітивний елемент F_r. Оскільки , то , з іншого боку F_r складається з усіх степенів , тобто . Таким чином, .3

4) Для будь-якого скінченного поля і будь-якого натурального n існує незвідний над поліном степеня n.

4Нехай F_r – розширення поля , . За наслідком 3) , де q – примітивний елемент F_r. Елемент алгебраїчний над (теор.21), і його мінімальний поліном g і є тим самим незвідним над поліномом, причому .3