Теорема про існування та єдиність скінченних полів

ТЕОРЕМА 28 (про існування та єдиність скінченних полів). Для будь-якого простого p і натурального n існує скінченне поле з елементів. Будь-яке поле з елементів ізоморфне полю розкладу полінома над полем .

› Надалі часто позначатимемо через q.

4Нехай F – поле розкладу полінома . Розглянемо множину коренів цього полінома . Доведемо, що S – поле. Нехай x, , тоді за наслідком теор.17:

1) ;

2) .

Звідси легко випливає, що S – поле. Але оскільки F – мінімальне поле, що містить всі корені полінома , то S співпадає з F. Залишилося довести, що всі корені даного полінома різні (тобто поле містить рівно елементів). Розглянемо похідну даного полінома: . Оскільки , то над полем F_р немає коренів. Отже, за теор.13 всі корені прості і, таким чином, різні.

Доведемо єдиність. Нехай ‑ скінченне поле з елементами. Так як група ненульових елементів цього поля з операцією множення має порядок , то для будь-якого ненульового елемента виконується . Крім того, . Отже, всі елементи є коренями полінома ,тобто будь-яке поле з елементів – це поле розкладу полінома з точністю до ізоморфізму. Єдиність поля з елементами випливає тепер з єдиності поля розкладу (теор.27).3

› З теор.28 випливає, що над полем , тобто всі елементи поля і тільки вони є коренями полінома . Інакше кажучи, . Уважний читач напевне помітив, що остання рівність у випадку простого поля () є не що інше, як мала теорема Ферма, відома з теорії чисел.