Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Производная по направлению. Градиент. Уравнение касательной плоскости к поверхности. Уравнение нормали⇐ ПредыдущаяСтр 15 из 15 Вектор с координатами , , называется градиентом функции u = f (x, y, z) в точке M(x, y, z) и обозначается grad u = + + . Под производной функции u = f (x, y, z) в данном направлении понимается выражение = cos a + cos b + cos g, где cos a, cos b, cos g – направляющие косинусы вектора
Производная представляет собой скорость изменения функции в данном направлении. Теорема. Производная функции по направлению равна проекции градиента этой функции на данное направление (в соответствующей точке). Как известно, проекция вектора на другой вектор имеет максимальное значение, если оба вектора совпадают по направлению. Градиент функции в данной точке указывает напрвление наиболее быстрого возрастания функции. Величина градиента, т.е. | grad u | = обозначается tg j и определяет крутизну наибольшего ската или подъема поверхности u = f (x, y). Пусть М – точка поверхности S. Плоскость, содержащая точку М и обладающая тем свойством, что расстояние от этой плоскости до переменной точки M 1 поверхности S является бесконечно малым по сравнению с расстоянием ММ 1, называется касательной плоскостью к поверхности S в точке М. , (**) где – частные производные функции трех переменных f (x; y; z) по этим переменным. (конечно, предполагается, что функция z имеет непрерывные первые частные производные). Нормаль (франц. normal, от лат. normalis — прямой) к кривой (к поверхности) в данной её точке — прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная к касательной
58. Екстремум функції двох змінних. Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной (см. п. 25.4). Пусть функция z = ƒ(х;у) определена в некоторой области D, точка N(x0;y0) Î D. Точка (х0;у0) называется точкой максимума функции z=ƒ(х;у), если существует такая d-окрестность точки (х0;у0), что для каждой точки (х;у), отличной от (хо;уо), из этой окрестности выполняется неравенство ƒ(х;у)<ƒ(хо;уо). Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (х0;у0), из d-окрестности точки (хо;уо) выполняется неравенство: ƒ(х;у)>ƒ(х0;у0). На рисунке 210: N1 — точка максимума, а N2 — точка минимума функции z=ƒ(x;у). Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумами. Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке (х0;у0) сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к (х0; у0). В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.
59. Найбільше та найменше значення функції багатьох змінних у замкненій області. Рассматривается множество . Если определено правило, по которому каждой точке ставится в соответствие некоторое число (единственным образом), то говорят, что на множестве D определена (однозначная) функция . Как обычно, множество D называется областью определения функции, а множество всех соответствующих значений u: Q = { u } – множеством значений. Часто функцию u = F (x) называют отображением При n = 2 уравнение F (x,y) = C задает линии уровня поверхности z = F (x,y), а при n = 3 уравнение F (x,y,z) = С – поверхности уровня. Задание ФНП может быть неявным: F (x,u) = 0 или параметрическим . Примеры. Поверхности 2 – го порядка. Как и в случае одной переменной, определяется предел ФНП:
Вместо условия можно писать . Справедливы все общие свойства пределов: арифметические свойства, переход к пределу в неравенствах и т.д. Тем не менее, понятие предела ФНП оказывается более сложным за счет того, что стремление т. х к хо может осуществляться большим числом способов, нежели в случае одной переменной. Пример. По аналогии с функциями одной переменной, вводятся бесконечно малые и большие величины и понятие непрерывности: Функция называется бесконечно малой при , если Функция называется бесконечно большой при , если Функция называется непрерывной в т. , если Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества. Остаются верными все свойства непрерывных функций: арифметические свойства, теорема о сохранении знака. Теоремы об ограниченности непрерывной функции, о переходе через промежуточные значения и о достижении максимума и минимума формулируются для замкнутых областей. Верна также теорема о непрерывности сложной функции: пусть функция непрерывна в т. хо, а функции в т. В этом случае функция
|