Замечание. В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции где принимает следующий вид:

В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции где принимает следующий вид:

Инвариантность формы первого дифференциала

Дифференциал функции в точке имеет вид:

где — дифференциал тождественного отображения :

Пусть теперь Тогда , и согласно цепному правилу:

Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.

Пример

Пусть Тогда функция может быть записана в виде композиции где

Дифференцируя эти функции отдельно:

получаем

20 Похідні та диференціали вищих порядків. Формула Лейбніца.

Нехай функція диференційовна на проміжку X, а  її похідна, яка також є функцією відносно x. Від цієї функції знову можна шукати похідну за умови, що вона існує на заданому проміжку. Похідна від похідної називається похідною другого порядку функції і позначається одним із символів:

.

Так у фізиці, якщо  закон, за яким змінюється пройдений шлях при прямолінійному русі точки, то є прискоренням цієї точки в момент часу t.

Аналогічно і т. д.

Взагалі похідною n-го порядку від функції називається похідна від похідної -го порядку і позначається

, або , або .

Зауваження. При , похідну n -го порядку позначають відповідно ; при позначають: або .

Приклад 3.17. Знайти похідну другого порядку від функції

.

Розв’язання. Знаходимо спочатку за формулою .

.

Знаходимо похідну від отриманої функції:

, тобто .

Формула Лейбніца. Якщо функції , мають похідні до n -го порядку включно, то для обчислення похідної n -го порядку від добутку цих функцій використовують формулу Лейбніца:

. (3.14)

Похідні вищих порядків від функцій, заданих параметрично.

Якщо функції і параметрично задають функцію , то похідні , , можна послідовно обчислити за формулами:

, і т. д.

Так, для похідної другого порядку має місце формула:

. (3.15)

Диференціали вищих порядків. Нехай функція диференційовна на проміжку X. Її диференціал

називається також диференціалом першого порядку і його можна розглядати як функцію змінної x (приріст аргументу вважається сталим).

Означення 3.4. Диференціалом другого порядку (second differential)функції в точці x називається диференціал від її диференціала першого порядку (за умови, що повторний приріст незалежної змінної x збігається з попереднім ) і позначається :

.

За означенням маємо

,

позначають . Таким чином

. (3.16)

Аналогічно, диференціалом n-го порядку (позначається ), n =2,3,... називається диференціал від диференціала порядку за умови, що в диференціалах весь час беруться одні й ті самі прирости незалежної змінної x. Тобто

.

При цьому справедлива формула:

. (3.17