Асимптоти кривих

Нехай крива задана рівнянням, де є неперервною функцією на відрізку. Тоді задана крива всіма своїми точками знаходитиметься в замкненому прямокутнику, де є найбільше значення функції на відрізку.

Якщо функція задана на нескінченному проміжку або у випадку, коли проміжок скінчений, але містить точки розриву другого роду заданої функції, то криву не завжди можна розмістити в прямокутнику. Тоді крива або окремі її вітки йдуть в нескінченність. При цьому може трапитися так, що крива на нескінченності, "розпрямляючись”, наближається до деякої прямої лінії (рис.6.21).

Означення. Пряма лінія називається асимптотою кривої, якщо відстань точки кривої до прямої прямує до нуля, коли точка по кривій рухається в нескінченність, тобто

Загальна схема дослідження функції та побудова її графіка

Наочне уявлення про хід зміни функції дає її графік, тому його побудова повинна бути заключним етапом дослідження функції, в якому мають використовуватися всі результати її дослідження. Для зручності дослідження функції рекомендуємо вести в деякій певній послідовності.

1. Знайти область існування функції. Це дає змогу визначити ті точки осі абсцис, над якими пройде чи не пройде графік функції.

2. Знайти точки перетину графіка з координатними осями. Для цього треба розв'язати дві системи рівнянь:

Перша система дає точки перетину з віссю, друга – з віссю.

3. Дослідити функцію на періодичність, парність і непарність. Розв'язання цього питання полегшить побудову графіка в тому розумінні, що її доведеться виконувати не в усій області існування функції, а тільки в її частині. Так, якщо - періодична функція з періодом, то графік достатньо побудувати на відрізку числової осі, довжина якого дорівнює, а потім цю частину графіка повторити на кожному відрізку довжини. Якщо функція парна, то графік функції симетричний відносно осі, якщо не тільки при, а потім симетрично відобразити і на від'ємні.

4. Знайти точки розриву функції та дослідити їх характер. Це допоможе встановити вигляд графіка функції поблизу цих точок.

5. Знайти значення функції на кінцях відрізків, де визначена функція. Якщо область існування функції є інтервал (півінтервал) або кілька інтервалів (півінтервалів), то треба знайти граничне значення функції, коли наближається до одного з кінців розглядуваних проміжків.

6. Визначити інтервали монотонності функції.

7. Знайти екстремальні точки і побудувати їх на площині.

8. Знайти інтервали вгнутості та опуклості кривої, яка є графіком функції.

9. Знайти точки перетину і побудувати їх на площині.

10. Знайти асимптоти графіка функції.

11. Побудувати графік функції.

27. Застосування правил Лопіталя до обчислення границь функцій.

Пра́вило Лопіта́ля — у математичному аналізі — метод знаходження границь функції, розкриття невизначеностей вигляду і . Теорема, що обґрунтовує метод, стверджує що за деяких умов границя від частки функцій дорівнює границі частки їхніх похідних.

Тема 3. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

3.6. Правила Лопіталя розкриття невизначеностей (L'Hospital rule)

Теорема 3.10. (І правило Лопіталя). Якщо:

1) функції і диференційовні на інтервалі , для всіх ;

2) ;

3) існує скінченна або нескінченна границя ,

то існує границя , причому має місце рівність:

. (3.21)

Доведення. Довизначимо функції і в точці так, щоб вони стали неперервними, тобто покладемо . Тепер ці функції на відрізку , () задовольняють умови теореми Коші. Тому існує точка с, , () така, що

.

Оскільки , () то . Перейшовши в останній рівності до границі, за умови , отримаємо

що і потрібно було довести.

Запам’ятай добре! Доведену теорему зазвичай називають правилом Лопіталя розкриття невизначеності за умови .

Аналогічні теореми мають місце для розкриття невизначеності у випадку односторонніх границь при , .

Приклад 3.24. Обчислити границю .

Розв’язання. Ми маємо невизначеність типу . Функції і задовольняють умови теореми в деякому околі точки . Застосуємо правило Лопіталя:

.

Наслідок 1. Теорема Лопіталя справедлива також при , при і при .

Приклад 3.25. Обчислити границю .

Розв’язання. Маємо невизначеність типу . Застосуємо правило Лопіталя:

.

Наслідок 2. Якщо похідні і задовольняють ті самі вимоги, що і функції і , то правило Лопіталя можна застосувати повторно. При цьому отримаємо

. (3.22)

І взагалі, правило Лопіталя при виконанні умов теореми можна застосовувати багаторазово.

Приклад 3.26. Обчислити границю .

Розв’язання. Дана границя дозволяє використовувати формулу (3.21) багаторазово, дійсно:

.

Наслідок 3. Якщо в теоремі замінити умову 2) на наведену нижче

2) , або , то формула (3.21) також має місце.

В цьому випадку правило Лопіталя застосовується для розкриття невизначеності типу (ІІ правило Лопіталя).

Приклад 3.27. Якщо , то

,

тобто довільний додатний степінь x зростає швидше, ніж при .

Розв’язування. Дійсно, застосувавши ІІ правило Лопіталя, отримаємо

.

Приклад 3.28. Якщо , то

,

тобто, при степенева функція зростає повільніше, ніж показникова функція , .

Розв’язування. Дійсно, застосувавши правило Лопіталя розкриття невизначеності n раз, отримаємо:

.

Зазначимо, що формули (3.21), (3.22) мають місце лише тоді, коли існує скінченна або нескінченна границя . Але буває і так, що границя існує, у випадку коли границя не існує.

Приклад 3.29. існує і дорівнює .

Розв’язання. Дійсно

.

Але відношення похідних не має границі при .

Після певних перетворень правило Лопіталя може бути застосовано також до розкриття інших невизначеностей, таких як: , , , , .

Так, границі невизначеностей типів та доцільно звести до виду або .

Приклад 3.30. Обчислити границю .

Розв’язання. Маємо невизначеність типу . Приведемо цю невизначеність до виду і застосуємо правило Лопіталя.

.

Приклад 3.31. Обчислити границю .

Розв’язання. Маємо невизначеність типу . Спочатку зведемо дроби до спільного знаменника.

.

Внаслідок перетворень ми дістали невизначеність виду . Застосуємо правило Лопіталя

.

При розкритті невизначеностей типу , , за допомогою правила Лопіталя попередньо необхідно виконати деякі перетворення.

Нехай треба обчислити границю складеної степеневопоказникової функції:

,

де ми маємо невизначеність одного з вищезгаданих типів. Запишемо цю границю у вигляді

,

тут в показнику маємо вже невизначеність виду , яку можна звести до невизначеності типу або шляхом знесення в знаменник одного із співмножників, що стоять під знаком границі.

Приклад 3.32. Обчислити границю .

Розв’язання. Маємо невизначеність типу . Виконаємо тотожне перетворення функції:

.

Знайдемо границю показника отриманої функції за правилом Лопіталя

.

Отже, .

Приклад 3.33. Обчислити границю .

Розв’язання. Маємо невизначеність типу . Виконаємо тотожне перетворення функції, що стоїть під знаком границі:

.

Обчислимо окремо границю, яка міститься в показнику, за правилом Лопіталя

.

Отже,

.

28. Необхідні та достатні умови екстремуму функції.

\ Екстремум (рос. экстремум, англ. extremum, нім. Extremum n) – найбільше та найменше значення функції на заданій множині.

29. Розкладення за формулою Маклорена деяких елементарних функцій.

Розкладання елементарних функцій в ряд Маклорена

інші роботи вид роботи: реферат; мова: українська

Рядом Маклорена функції f(x) називають степеневий ряд по степенях х, який можна дістати з ряду (38) при х0 = 0: (41) З п. 2.4 випливає таке правило розкладання функції в ряд: щоб функцію f(x) розкласти в ряд Маклорена потрібно: а) знайти похідні f´(х), f˝(х),...., fп(х),...; б) обчислити значення похідних в точці х = 0; в) записати ряд Маклорена (41) для даної функції і знайти інтервал його збіжності; г) визначити інтервал (–R; R), в якому залишковий член формули Маклорена Rп (х) → 0 при п → ∞. Якщо такий інтервал існує (він може відрізнятись від інтервалу збіжності ряду (41)), то в цьому інтервалі функція f (х) і сума ряду Маклорена збігаються: Розглянемо ряди Маклорена деяких елементарних функцій (вони часто використовуються і...

30. Розкладення за формулою Тейлора деяких елементарних функцій.

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Для функції, яка диференційовна раз включно в околі точки має місце формула Тейлор а:

, .

Останній доданок у формулі Тейлора

31. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла. Таблиця основних інтегралів.

Первісна функція. Означення.

Функція F(x) на заданому проміжку називається первісною для функції f(x), для всіх x з цього проміжку, якщо F'(x)=f(x).

Операція знаходження первісної для функції називається інтегруванням. Вона є оберненою до операції диференціювання.

Теорема.

Всяка неперервна на проміжку функція (x) має первісну на цьому проміжку.

Теорема (основна властивість первісної). Якщо на деякому проміжку функція F(x) є первісною для функції f(x), то на цьому проміжку первісною для f(x) буде також функція F(x)+C, де C довільна стала.

З цієї теореми випливає, що коли f(x) має на заданому проміжку первісну функцію F(x), то цих первісних безліч. Надаючи C довільних числових значень, кожного разу діставатимемо первісну функцію.

Для знаходження первісних користуються таблицею первісних. Вона отримується із таблиці похідних.

Невизначений інтеграл. Означення.

Множина всіх первісних функцій для функції f(x) називається невизначеним інтегралом і позначається .

При цьому f(x) називається підінтегральною функцією, а f(x)dx - підінтегральним виразом.

Отже, якщо F(x), є первісною для f(x), то .

Властивості невизначеного інтегралу

Таблиця основних інтегралів
1..
2. .
3. .
4. .
5.
6.
7. .
8.
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
15.
16.
17.
18.
19. .
20. .
21. .
22. .
23.

32. Основні методи інтегрування: метод розкладення, метод підстановки (заміни змінної) та метод інтегрування частинами.

Інтегрування раціональних дробів. Метод розкладання.

Невизначений інтеграл від будь-якого раціонального дробу на всякому проміжку, на якому знаменник дробу не звертається в нуль, існує і виражається через елементарні функції, а саме він є алгебраїчною сумою суперпозиції раціональних дробів, арктангенсів і раціональних логарифмів.

Сам метод полягає в розкладанні раціонального дробу на суму найпростіших.

Усякий правильний раціональний дріб , знаменник якого розкладений на множники

можна представити (і притім єдиним образом) у виді наступної суми найпростіших дробів:

де - деякі дійсні коефіцієнти. Звичайно невідомі коефіцієнти знаходяться за допомогою методу невизначених коефіцієнтів.

Метод підстановки (заміни змінної)

Цей метод містить два прийоми.

a) Якщо для знаходження заданого інтеграла ∫f(x)dx зробити підстановку x = φ(t), тоді має місце рівність

Після знаходження останнього інтеграла треба повернутись до початкової змінної інтегрування х. Для застосування цього прийому треба; щоб функція х - φ (t) мала обернену t = ψ(х).

Приклад. Знайти інтеграл

Розв'язування. Зробимо підстановку х = 5sint, тоді

Отже, одержимо

Із рівності х = 5sin t одержимо t = arcsin (х/5);

Отже,

b) Якщо зробити заміну змінної, тобто t = φ (х) тоді має місце

рівність

Після знаходження останнього інтеграли треба повернутись до змінної х, використовуючи рівність t = φ (х).

Приклад. Знайти

Розв’язування. Нехай тоді

Тому

Метод інтегрування частинами

Цей метод застосовується тоді, коли під інтегралом є добуток функцій, причому хоча би одна з них є трансцендентною (не степеневою).

Формула інтегрування частинами:

Ця формула дозволяє знаходження інтеграла звести до зна­ходження інтеграла . При вдалому обранні u то dv інтеграл може бути табличним або простішим ніж заданий інтеграл

Приклад. Знайти

Розв'язування. Нехай u = Inx, dv = dx. Тоді v = x

За формулою інтегрування частинами одержимо

33. Поняття визначеного інтеграла. Обчислення визначеного інтеграла.

Означення.

Гранця інтегральної суми коли n→∞ називається визначеним інтегралом, і записується це так: .

читається: "інтеграл від a до b f від xdx"

Число а називається нижньою межею інтегрування, b – верхньою межею інтегрування, відрізок [a; b] – проміжок інтегрування.

Властивості визначеного інтегралу

Формула Ньютона-Лейбніца

Визначений інтеграл тісно пов’язаний із первісною та невизначеним інтегралом формулою Ньютона- Лейбніца

.

Інтеграл Рімана

Інтеграл Рімана - найпростіший із визначених інтегралів, є границею інтегральної суми. Для функції однієї змінної , визначеній на відрізку [a,b] та певного розбиття R цього відрізку на відрізки інтегральна сума визнається як

де - будь-яка точка з відрізку.

Якщо існує границя таких сум при прямуванні найбільшої довжини відріку до нуля, то функція називається інтегрованою, а границя інтегральної суми називається інтегралом Рімана функції на відрізку і позначається

.

Інтеграл Рімана

Інтеграл Рімана - найпростіший із визначених інтегралів, є границею інтегральної суми. Для функції однієї змінної , визначеній на відрізку [a,b] та певного розбиття R цього відрізку на відрізки інтегральна сума визнається як

де - будь-яка точка з відрізку.

Якщо існує границя таких сум при прямуванні найбільшої довжини відріку до нуля, то функція називається інтегрованою, а границя інтегральної суми називається інтегралом Рімана функції на відрізку і позначається

.

34. Заміна змінної та інтегрування частинами у визначеному інтегралі. Застосування визначеного інтеграла.

Замена переменной в определённом интеграле. Теорема. Пусть функция

1. определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке ,

2. ,

3. функция непрерывна на отрезке [ a, b ].

Тогда .

Док-во. Пусть F (x) - первообразная для функции f (x), т.е. , тогда - первообразная для функции . , что и требовалось доказать.

При решении задач нельзя забывать о том, что при переходе к новой переменной надо обязательно вычислить новые пределы интеграла.
Пример:

.

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. Если u (x), v (x) - непрерывно дифференцируемые функции, то .
Док-во. Интегрируем равенство в пределах от a до b: . Функция в левом интеграле имеет первообразную uv, по формуле Ньютона-Лейбница , следовательно, , откуда и следует доказываемое равенство.
Пример:

Застосування інтегралу

Інтегральне числення широко використовується при розв’язуванні різноманітних практичних задач. Розглянемо деякі з них.

Обчис Обчислення площі криволінійної трапеції Нехай задано на площині деяку фігуру обмежену лініями x=a, x=b, y=f(x), y=g(x). (Рис. 2). Тоді її площа буде отримуватись інтегруванням різниці між верхньою та нижньою функцією на даному проміжку Обчислення об’ємів тіл Нехай задана функція, яка задає площу поперечного перерізу тіла в залежності від деякої змінної S = s(x), x [a; b]. Тоді об’єм даного тіла можна знайти проінтегрувавши дану функцію у відповідних межах Якщо нам задане тіло, яке отримане обертанням навколо осі Ох криволінійної трапеції обмеженої деякою функцією f(x), x [a; b]. (Рис. 3). То площі поперечних перерізів можна обчислити за відомою формулою S = π f 2(x). Тому формула об’єму такого тіла обертання Аналогічно для осі Oy, y [c; d]

35. Невласні інтеграли першого роду.

Невласти́вий інтегра́л є розширенням поняття визначений інтеграл; він дозволяє в деяких випадках обраховувати «інтеграл на нескінченості» або «інтеграл від необмеженої функції». В математичному аналізі невластивим інтервалом називають границю послідовності визначених інтегралів, коли інтервал інтегрування збільшується до нескінченості, або коли інтервал наближається до особливої точки інтегрованої функції, де та йде у нескінченість.

Невласні інтеграли першого роду ("нескінчений інтервал")

Нехай функція неперервна на проміжку . Тоді вона буде неперервною на будь-якому скінченому відрізку . Для функції , неперервної на , існує визначений інтеграл , який залежить від верхньої межі інтегрування. Цей інтеграл визначає деяку величину, наприклад площу криволінійної трапеції, обмеженої

графіком функції прямими , , . Будемо необмежено збільшувати верхню межу інтегрування . При цьому можливі два випадки: або при має скінчену границю, або не має.

36. Невласні інтеграли другого роду.Невласні інтеграли

При введенні поняття визначеного інтегралу як границі інтегральної суми припускалось, що виконуються такі умови:

I. межі інтегрування та є скінченими;

II. підінтегральна функція на неперервна або має скінчене число точок розриву першого роду. В цьому випадку визначені інтеграли називаються власними. Якщо хоч одна з перечислених вище умов не виконується, то такі інтеграли називаються невласними. Невласні інтеграли є узагальненням визначених інтегралів на випадок нескінчених проміжків інтегрування та необмежених функцій.

Невласні інтеграли другого роду

Нехай функція визначена і неперервна при , а в точці вона або невизначена, або має розрив другого роду. Тому говорити про інтеграл як про границю інтегральної суми неможливо, тому що функція не є неперервною на відрізку і, внаслідок цього, границя інтегральної суми, в класичному розумінні, не може існувати.

Означення 1. Якщо існує скінчена лівостороння границя , то цю границю називають невласним інтегралом від розривної функції на відрізку і вважають, що

. (8.2.1)

У цьому випадку інтеграл називають збіжним, а саму функцію інтегрованою на відрізку . Якщо границя рівна , або зовсім не існує, то інтеграл розбіжний.

Аналогічно визначається невласний інтеграл другого роду, якщо функція неперервна при , а в точці вона або невизначена, або має розрив другого роду:

. (8.2.2)

Якщо ж функція має розрив в деякій точці , яка лежить всередині відрізка , то, згідно означення, вважають, що

, (8.2.3)

якщо два інтеграли, що лежать в правій частині існують.

37. Ознака збіжності невласних інтегралів.

Якщо функція визначена і неперервна на відрізку за виключенням скінченого числа точок , які є внутрішніми точками відрізка і в цих точках має розриви другого роду, то інтеграл від функції на відрізку визначають так:

, (8.2.4)

якщо кожен з невласних інтегралів в правій частині рівності (8.2.4) збігається, і сам інтеграл в цьому випадку називається збіжним.

Якщо хоч би один з інтегралів в правій частині рівності розбігається, то і називається розбіжним.

Для визначення збіжності невласних інтегралів від функцій, які мають розриви другого роду, використовують теореми аналогічні теоремам для визначення збіжності невласних інтегралів першого роду.

Теорема 3 Якщо функція є знакозмінною на відрізку , має розрив другого роду в точці , і невласний інтеграл другого роду збігається, то збігається також невласний інтеграл .

При виконанні умов теореми 3 невласний інтеграл другого роду називається абсолютно збіжним.