Калибровочная симметрия

Калибровочная симметрия -частный случай внутренней симметрии, общее название класса симметрий уравнений движения квантовой теории поля. Эти преобразования над полями не меняют вид этих уравнений. Требование калибровочной симметрии приводит к необходимости существования компенсирующих калибровочных полей, осуществляющих взаимодействия между частицами. Примерами являются электромагнитное поле и поля Янга-Миллса.

Глобальные калибровочные симметрии в пространстве внутренних симметрий отвечают законам сохранения заряда. Пример1. Заряженные поля описываются комплексной волновой функцией

(2.120)

где x –пространственно-временная точка.

Частицам с противоположными зарядами, например, электрическими соответствуют функции поля, отличающиеся знаком фазы . Фазу можно считаль угловой координатой в некотором фиктивном двумерном «зарядовом пространстве». В квантовой теории наблюдаемым соответствуют билинейные комбинации типа . Сама фаза физического смысла не имеет, наблюдаемой является разность фаз двух полей. Поскольку умножение всех полей на единый фазовый множитель ,а сопряженных полей на не меняет разностей фаз, поля и физически эквивалентны. Это означает, что поля и удовлетворяют одному и тому же уравнению, а лагранжиан для поля инвариантен относительно преобразования . Преобразования меняют значение фазы поля , поэтому их можно рассматривать как вращение в «зарядовом пространстве».

Инвариантность лагранжиана означает неизменность формы лагранжиана относительно калибровочных преобразований (фазовых преобразований) полей, которые он описывает.

Группа – множество, на котором определена операция называемая умножением:каждой упорядоченной паре элементов ставится в соответствие третий элемент и удовлетворяющая групповым аксиомам: 1) в группе существует единичная операция е, 2) для каждой операции существует обратная такая,что , 3) операция умножения ассоциативна . Умножение в группе в общем некоммутативно . Группа преобразований это взаимное отображение различных множеств на себя. Группы, для которых умножение некоммутативно (неперестановочно) называются неабелевыми группами.

В названии матричных групп отражены свойства их элементов. Буква L – линейность, унитарность – U, ортогональность - О. Если матрицы имеют единичный определитель (унимодулярны), в названии ставится буква S. B скобках после названия указывается ранг (число строк) матриц. Задать представление группы - значит задать n матриц, удовлетворяющим коммутационным соотношениям с заданным набором структурных констант. В группах вращений, которые мы далее будем рассматривать, операторы поворотов являются генераторами группы. Генераторы являются матрицами той же размерности, что элементы группы. Коммутатор двух генераторов линейно выражается через генераторы: . Числа назваются структурными константами группы.

Группа U(1) (унитарная группа комплексных матриц с рангoм 1). ( Применяется для КЭД). Преобразования с различными параметрами коммутируют между собой, и составляют абелеву группу U(1).

, (2.121)

где -произвольное число (параметр преобразования), а числа Q_i (генераторы группы)- заряды, фиксированы для каждого поля . Эта инвариантность приводит к аддитивному закону сохранения заряда . Преобразование (2.121) тогда отвечает преобразованию «поворотов» полей вокруг фиксированной оси:

. (2.122)

Электрический заряд Q₁ –сохраняющаяся величина, источник электромагнитного поля и его безмассовых фотонов.

Фазовое преобразование соответствует внутренней симметрии лагранжиана сильного взаимодействия. S = const – закон сохранения странности в сильном взаимодействии.

Если произвольная функция пространственных координат, тогда мы получаем локальное калибровочное (фазовое) преобразование

(2.123)

Если лагранжиан симметричен относительно преобразований поворотов нескольких комплексных полей, то возникают, неабелевы группы симметрии с несколькими параметрами. Например, группа для изотопического спина SU(2). Два преобразования являющиеся ее элементами, не коммутируют друг с другом. Вторым примером является группа для цветовой симметрии SU_c (3).

Группа SU(2) (унимодулярная унитарная группа с рангом 2)- группа вращений во внутреннем пространстве для частиц с изотопическим спином ½ (Применяется для теории Слабого взаимодействия). Образована из множества унитарных матриц с . Фундаментальное представление группы являются матрицы

, (2.124)

где , -действительные параметры.

Векторный оператор изотопического спина имеет три компоненты , (j=1,2,3), где (j=1,2,3) изоспиновые матрицы Паули, которые являются генераторами группы

, , , (2.125)

единичный оператор . и нулевой .

для матриц Паули справедливо перестановочное соотношение . где .

Волновая функция нуклона является двухкомпонентной функцией – изотопическим спинором:

(2.126)

Оператор уничтожает протон , и переводит нейтрон в протон .

Оператор уничтожает нейтрон , и переводит протон в нейтрон .

Группа SU_c (3) (цветовая унимодулярная унитарная группа с рангом 3)) образована из множества унитарных матриц с . (Применяется для КХД)..Фундаментальным представлением группы является триплет. Это три цветовых заряда (к –красный, с -синий, з - зеленый). Фундаментальное представление группы SU_c (3) следующее

, (2.127)

где ., -действительные параметры.

Генераторами группы являются 8 матриц Гелл-Манна

, , , ,

, , , . (2.128)

С условием ,

Собственные вектора

К ,З ,С . (2.129)

Зарядовая симметрия. Сильные и электромагнитные взаимодействия инвариантны относительно операции зарядового сопряжения: замены всех частиц на античастицы.

Зарядовая симметрия приводит к закону сохранения зарядовой четности (С-четности).

Зарядовая четность С определяется как собственное значение оператора зарядового сопряжения. Этот оператор антикоммутирует с оператором полного заряда системы. Поэтому только состояния с полным зарядом, равным нулю, могут обладать определенным значением зарядовой четности. В слабых взаимодействиях происходит нарушение законов сохранения пространственной Р -четности и зарядовой С -четности. Однако слабые взаимодействия обладают СР - инвариантностью(законом сохранения комбинированной четности) кроме распада нейтрального каона , где она с вероятностью ~0,2% нарушается.

Теорема СРТ (Г.Людерс и В.Паули 1955г): Уравнения квантовой теории поля инвариантны относительно СРТ -преобразования. Уравнения не меняют своего вида, если одновременно произвести три преобразования: Зарядового сопряжения С поменяв частицы на античастицы, пространственной инверсии Р (замены координат r на – r) и обращения времени Т (замены t на – t).

Если в природе происходит некий процесс, то в ней может происходить и сопряженный СРТ -процесс, в котором все частицы заменены на античастицы, проекции спинов изменили знак на противоположный, а начальные и конечные состояния поменялись местами. Ни одного случая нарушения СРТ -инвариантности экспериментально не обнаружено. Пример: позитрон e+ летящий по оси x - это электрон e- летящий по оси минус x из будущего в прошлое.

Киральная симметрия - приближенная симметрия сильного взаимодействия относительно преобразований меняющих четность. Если принебречь массами легких кварков по сравнению с энергией сильного взаимодействия(~1Гэв), то лагранжиан КХД инвариантен относительно вращений в пространстве . При этом кварки переходят друг в друга. Вследствие векторного характера взаимодействия кварков с глюонами, можно независимо вращать левые и правые составляющие кварковых полей и . Классическим примером киральных преобразований служит вращение дираковского спинора с фазой пропорциональной .Четырехкомпонентное поле Дирака можно представить в виде композиции двух двухкомпонентных вейлевских спиноров

(2.130)

поле левой частицы определяется спинором , а правой - .

Киральным преобразованием дираковского спинора служит операция

, (2.131)

где -параметр преобразования.

Действия матрицы на правый и левый спинор отличаются знаком

; (2.132)

где - единичная матрица .

Киральные поля преобразуются по закону , . (2.133)

Нарушение симметрии.

Многие из симметрий природы являются приближенными или нарушенными. В природе существуют состояния с явной и со спонтанно нарушенной симметрией. Явное нарушение симметрии обусловлено нарушением симметрии эффективного гамильтониана системы. (например, нарушение изотопической инвариантности свидетельствует о различии масс протона и нейтрона). Спонтанное (самопроизвольное) нарушение симметрии выражается в том, что физическая система, находится в состоянии лишенном симметрии, которой обладают уравнения, описывающие движения этой системы. Это происходит в тех случаях, когда симметричное состояние не обладает минимальной энергией, а основное состояние вырожденно.

Пример1. А. Салама спонтанного нарушения симметрии в быту: Гости сидят за круговым столом. Салфетки лежат симметрично слева и справа от каждого гостя. Наблюдается изначальная симметрия. Как только один гость самопроизвольно возьмет одну салфетку слева или справа от себя, остальные будут вынуждены сделать также (например, все возьмут салфетку слева). Произойдет спонтанное нарушение симметрии.

Пример 2. Модель спонтанного нарушения симметрии: шарик падает строго по оси цилиндрической бутылки с выпуклым дном. Условие задачи и уравнения движения шарика абсолютно симметричны относительно поворота вокруг оси бутылки, однако, результат не симметричен. В первый момент шарик коснется дна точно посередине, но скатится к краю дна в какую-либо точку. Все положения шарика на периферии дна устойчивы, и равноправны. Низшее энергетическое состояние оказывается вырожденным, т.е. имеющим дополнительную степень свободы (поворот вокруг оси бутылки). Поскольку положение равновесия на вершине выпуклости было неустойчиво, конечное состояние системы сосуд+шарик у стенки симметрией вращения не обладает. Произошло спонтанное нарушение симметрии.

Теорема Голдстоуна: Спонтанное нарушение непрерывной глобальной симметрии приводит к появление безмассовой бесспиновой частицы. Эта частица называется голдстоуновский бозон. Спонтанно нарушенная симметрия остается симметрией системы. Она проявляется в появлении «голдстоуновской моды». Примером голдстоуновского возбуждение в нерелятивисткой квантовой теории являются спиновые волны в ферромагнетике и фононы в кристалле и жидком гелии.

Однако спонтанное нарушение локальной симметрии приводит к появлении массы у калибровочного поля. Симметрия системы проявляется в возникновении «хиггсовской моды». Калибровочная симметрия превращает голдстоуновский бозон в продольную компоненту возникающего массивного поля Хиггса.

Спонтанное нарушение симметрии происходит из-за нарушения симметрии вакуума, который при симметричном лагранжиане может быть вырожденным. Например, лагранжиан (оператор энергии поля) обладает симметрией, а описываемое им устойчивое физическое состояние с наименьшей плотностью энергии (вакуум) нет. При этом симметричные состояния неустойчивы и самопроизвольно, под действием малейших возмущений переходят в устойчивые несимметричные состояния.

Вырождение вакуума – это существование различных состояний квантовой системы с бесконечным числом степеней свободы, в которых некоторая физическая величина принимает одинаковые значения. Вакуумное состояние системы, обладающей некой симметрией, оказывается неинвариантно относительно этой симметрии.

Состояние со спонтанно нарушенной симметрией всегда вырождено. Изменением параметра вырождение снимается, и спонтанное нарушение симметрии устраняется.

Важным примером физической теории с вырождением вакуума является теория электрослабого взаимодействия, в которой вырождение вакуума достигается с помощью введения скалярных полей Хиггса. В этом случае безмассовые голдстоунские бозоны не возникают, но калибровочные бозоны приобретают массу. Например, локальная внутренняя симметрия электрослабого взаимодействия нарушается спонтанно до группы _. Вместо четырех безмассовых частиц остается только одна –фотон, остальные три векторные частицы приобретают массу.

Хиггса бозоны - гипотетические бесспиновые (спин ) скалярные частицы, обеспечивающие механизм спонтанного нарушения калибровочной симметрии состояний физической системы. Экспериментально нейтральные хиггсовые бозоны Н⁰ могут наблюдаться как «тормозное» излучение калибровочных бозонов Z⁰, . Возможно ассоциативное рождение бозонов Хиггса с векторными бозонами в процессах электрон-позитронной аннигиляции или адрон-адронном столкновении (протон-протонные встречные пучки).