Теорема Нётер. Непрерывные пространственно-временные симметрии (глобальные симметрии). Группа Лоренца. Группа Пуанкаре

Симметрия - инвариантность(неизменность) структуры, свойств, формы, состояния системы. относительно данного преобразования. Понятие симметрии неразрывно связано с представлениями о красоте. «Все симметричное автоматически красиво». Однако, в природе может наблюдаться небольшое нарушение симметрии. Состояние физической системы определяется оператором Гамильтона (гамильтонианом) или оператором Лагранжа (лагранжианом) для полей.

Преобразования симметрии для физической системы являются преобразования, не меняющие гамильтониана или лагранжиана системы. В математике такие преобразования составляют группу.

Теорема Нётер: Для каждой физической системы, уравнения которой могут быть получены из вариационного принципа, каждому однопараметрическому непрерывному преобразованию симметрии отвечает один закон сохранения некоторой физической величины.

Теорема Нётер самое универсальное средство, позволяющее находить законы сохранения в лагранжевой классической механике, теории поля, квантовой теории.

Из физических представлений об однородности и изотропии пространства-времени следует, что для любой замкнутой системы действие должно быть инвариантно относительно преобразований группы Пуанкаре. В силу теоремы Нётер это приводит к существованию 10 фундаментальных сохраняющихся величин: энергии, трех компонентов импульса, и 6 компонент 4-момента импульса.

Эти сохраняющиеся физические величины являются генераторами этих преобразований. В физике симметрии делятся на геометрические и внутренние. Геометрические симметрии подразделяются на непрерывные и дискретные. Преобразования, отвечающие геометрическим симметриям, в четырехмерном прострастве-времени содержат пространственные и временные сдвиги, вращения, зеркальные отражения координатных осей.

Непрерывныепространственно-временные симметрии (глобальные симметрии)

1.Перенос (сдвиг) системы, как целого в пространстве понимается как реальный перенос физической системы или параллельный перенос системы отсчета. Симметрия физических законов относительно сдвигов в пространстве означает эквивалентность всех точек пространства (однородность пространства). Ему соответствует закон сохранения импульса в замкнутой системе.

2. Изменение начала отсчета времени (сдвиг во времени). Симметрия относительно сдвига во времени означает эквивалентность всех моментов времени (однородность времени). Ему соответствует закон сохранения энергии в замкнутой системе.

3. Поворот системы как целого в пространстве. Симметрия относительно поворотов означает эквивалентность всех направлений в пространстве (изотропность пространства). «В пространстве нет выделенных направлений». Ему соответствует закон сохранения углового момента(момента импульса) замкнутой системы.

4.Переход к системе отсчета, движущейся относительно данной системы с постоянной (по величине и направлению) скоростью. Симметрия относительного этого преобразования означает, в частности, эквивалентность всех инерциальных систем отсчета. Ему соответствует закон сохранения равномерного и прямолинейного движения центра инерции в инерциальной системе координат.

Эти четыре непрерывные симметрии отражают свойства плоского 4–мерного пространства Минковского с псевдоэвклидовой метрикой. Преобразования 1 и 2 –сдвиги, 3 и 4 –повороты в пространстве Минковского.

Группа Лоренца – группа вещественных линейных однородных преобразований. 4-векторов пространства Минковского М ₄сохраняющих скалярное произведение:

, (2.115)

где - метрический тензор в М ₄ (подразумевается суммирование по повторяющимся индексам). Группа Лоренца является подгруппой группы Пуанкаре (группы симметрии пространства-времени в отсутствие гравитации). Инвариантность действия относительно преобразований группы Лоренца отражает изотропность пространства-времени и влечет за собой сохранение 4-тензора момента.

Группа Лоренца-шестипараметрическая группа Ли. Имеется три независимых пространственных вращения на угол в плоскости :

, ,

,

. (2.116)

и три независимых (частных) преобразования Лоренца –гиперболические повороты (бусты) на угол в плоскости :

, ,

,

, (2.117)

здесь и их циклические перестановки: 2,3,1; 3,2,1.

Трансформационные свойства физического поля по отношению к преобразованиям группы Лоренца задают спин частицы: скаляру соответствует спин , спинору – спин , вектору спин .

Группа Пуанкаре (неоднородная группа Лоренца) - группа движений пространства Минковского, является полупрямым произведением группы преобразования Лоренца и группы четырехмерных сдвигов (трансляций). Группа Пуанкаре - группа всех вещественных преобразований 4-векторов пространства Минковского М ₄ вида

(2.118)

где - 4-вектор смещения (трансляции), -преобразование из группы Лоренца.

Элемент группы Пуанкаре обычно обозначается , а закон композиции имеет вид

. (2.119)

Группа Пуанкаре является группой глобальной симметрии в релятивисткой физике. Она была введена в 1905г. Пуанкаре. Это –неабелева (некомутативная) некомпактная группа Ли.