Формула преобразования координат вектора линейного пространства при преобразовании его базиса

Докажите, что если и – собственные векторы оператора φ, относящиеся к одному и тому же собственному значению λ, то их линейная комбинация – собственный вектор оператора φ, относящийся к тому же собственному значению.

Доказательство:

Пусть х₁ и х₂ – собственные векторы, относящиеся к собственному значению λ, т.е. φ(х₁) = λ* х_1, φ(х₂) = λ* х₂

Покажем, что φ(α*х_{1 +} β* х₂) = λ(αх₁ + βх₂₎

φ(α*х_{1 +} β* х₂) = α* φ(х₁) + β* φ(х₂) = αλ х₁ + βλ х₂ = λ(α х₁ + β х₂)

Доказать, что если векторы и относятся к различным собственным значениям , то они линейно независимы.

Доказательство:

x₁ – c.в., относящийся к с.з. λ₁ => φ(x₁) = λ₁ x₁

x₂ – с.в., относящийся к с.з. λ₂ => φ(x₂) = λ₂ x₂

λ₁ ≠ λ₂

Пусть векторы x₁ и x₂ – линейно зависимы => x₁ =λ x₂

φ(x₁) = φ(αx₂) = α φ(x₂) = αλ₂ x₂ = λ₂ (αx₂) = λ₂ x₁ => x₁ – c.в., относящийся к с.з. λ₂, что противоречит условию.

Аналогично, φ(x₂).

ð λ_{1 =} λ₂

ð x₁ и x₂ – линейно независимы.

Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса

Доказательство.

Пусть А и A1 матрицы линейного оператора в базисах е1,е2…еn и f1,f2…fn. Преобразуем характеристический многочлен |A1-ƛE |, полученный в новом базисе f1,f2…fn если известна матрица перехода «Т» от старого базиса е1,е2…еn к базису f1,f2…fn.

Общее уравнение прямой на плоскости

ЗАДАЧА 11.1. Записать уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно вектору .

Пусть точка – произвольная точка прямой (такую точку мы будем в дальнейшем называть текущей точкой прямой). Обозначим через и – радиус-векторы точек и соответственно. Рассмотрим векторы и . По условию задачи они перпендикулярны. Следовательно, ,(23)

или, в координатной форме, .(24)

Уравнению (24) удовлетворяют координаты любой точки прямой и не удовлетворяют координаты других точек плоскости. Следовательно, это и есть искомое уравнение. Уравнения (23) и (24) называют уравнениями прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору (в векторной и координатной форме соответственно).

Раскроем скобки в уравнении (24) и приведем подобные слагаемые: .

Обозначим число через и получим общее уравнение прямой на плоскости:

. (25)

Таким образом, прямая в общем случае она задается уравнением (25), где – числа. Причем и не обращаются в ноль одновременно, так как с геометрической точки зрения это коэффициенты вектора, перпендикулярного прямой. Вектор, перпендикулярный прямой, называют нормальнымвектором этой прямой.

Параметрические уравнения прямой

Получим параметрические уравнение прямой на плоскости, решив следующую задачу.

ЗАДАЧА 11.2. Записать уравнение прямой, проходящей через точку , пар-о вектору .

Вектор, параллельный прямой, называют направляющим вектором этой прямой.

Пусть точка – текущая точка прямой. Обозначим через и – радиус-векторы точек и соответственно. Рассмотрим векторы и . По условию задачи они параллельны. Следовательно, существует такое число , что , ⇒ , (27)

или, в координатной форме,

(28)

Очевидно, что системе (28) будут удовлетворять координаты любой точки прямой при некотором значении ( называют параметром) и не будут удовлетворять координаты других точек плоскости.

Уравнение (27) и систему уравнений (28) называют параметрическимиуравнениями прямой (в векторной и координатной форме соответственно).

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Если в задаче 11.2 вектор не параллелен ни одной из координатных осей (т.е. если и ), то из уравнений системы (28) можно выразить параметр : и ,

и заменить систему (28) одним уравнением вида: , (29)

где – координаты некоторой точки на прямой, – координаты направляющего вектора прямой.

Уравнение (29) называют каноническим уравнением прямой на плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Это уравнение является частным случаем канонического уравнения прямой.

Действительно, пусть прямая проходит через две точки и . Тогда вектор является ее направляющим вектором и каноническое уравнение этой прямой будет иметь вид

. (30)

Уравнение (30) называют уравнением прямой, проходящей через две точки и .

Общее уравнение плоскости

Получим общее уравнение плоскости, решив следующую задачу.

ЗАДАЧА 12.1. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярно вектору .

Пусть точка – текущая точка плоскости. Обозначим через и – радиус-векторы точек и соответственно. Рассмотрим векторы и . По условию задачи они перпендикулярны. Следовательно, ,(36)

или, в ко-й форме, . (37)

Уравнению (37) удовлетворяют координаты любой точки рассматриваемой плоскости и не удовлетворяют координаты других точек пространства. Следовательно, это и есть искомое уравнение. Уравнения (36) и (37) называют уравнениями плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору (в векторной и координатной форме соответственно).

Раскроем скобки в уравнении (37) и приведем подобные слагаемые:

Об-м число через и получим общее уравнение пл-ти: (38)

Таким образом, плоскость является поверхностью первого порядка. В общем случае она задается уравнением (38), где – числа. Причем , и не обращаются в ноль одновременно, так как с геометрической точки зрения это коэффициенты вектора, перпендикулярного плоскости.

Другие формы записи уравнения плоскости

Рассмотрим в каком еще виде можно записать уравнение плоскости.

1) Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум неколлинеарным векторам

Решим следующую задачу.

ЗАДАЧА 12.2. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку , параллельно неколлинеарным векторам и .

Пусть точка – текущая точка плоскости. Обозначим через и – радиус-векторы точек и соответственно. Рассмотрим векторы

, и . По условию задачи они компланарны. Следовательно,

,(40) или, в ко-ой форме, (41)

Уравнения (40) и (41) называют уравнениями плоскости, проходящей через точку параллельно двум неколлинеарным векторам (в векторной и координатной форме соответственно).

Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой

Это уравнение является частным случаем уравнения (41).

Действительно, пусть плоскость проходит через три точки , и , не лежащие на одной прямой. Тогда векторы

и

неколлинеарные и параллельны плоскости. Следовательно, уравнение этой плоскости будет иметь вид , (42)

или в координатной форме

. (43)

Уравнения (42) и (43) называют уравнениями плоскости, проходящей через три точки , и (в векторной и координатной форме соответственно).

Исследование

Проведем исследование общего уравнения плоскости. Т.е. выясним, что можно сказать о плоскости по виду ее общего уравнения. Если в уравнении (38) все коэффициенты , , и отличны от нуля, то уравнение называют полным; если хотя бы один из коэффициентов равен нулю – уравнение называют неполным.

1) Пусть уравнение (38) – полное. Тогда его можно записать в виде

, ⇒ .

Обозначим , и . Тогда уравнение плоскости примет вид . (39)

Уравнение (39) называют уравнением плоскости в отрезках. Легко проверить, что плоскость, имеющая уравнение (39), проходит через точки , и . Следовательно, с геометрической точки зрения , и – отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях , и соответственно.

2) Пусть в уравнении (38) коэффициенты , и – ненулевые, а , т.е. уравнение плоскости имеет вид

.

Легко проверить, что такая плоскость проходит через начало координат .

Замечание. Чтобы построить плоскость , обычно находят прямые, по которым она пересекается с двумя координатными плоскостями. Например, – пересечение с плоскостью (ее уравнение ) и – пересечение с плоскостью (ее уравнение ).

3) Пусть в уравнении (38) один из коэффициентов , или – нулевой, а , т.е. уравнение плоскости имеет вид или или .

Если плоскость имеет уравнение , то его можно записать в виде ,

⇒ , ⇒ ,

где , . Но последнему уравнению удовлетворяют координаты точек и (при любом ). Следовательно, плоскость параллельна оси и отсекает на осях и отрезки и соответственно.

Аналогичным образом получаем, что плоскость параллельна оси и отсекает на осях и отрезки и соответственно, а плоскость – параллельна оси и отсекает на осях и отрезки и .

Таким образом, плоскость, в уравнении которой отсутствует одна из координат, параллельна оси отсутствующей координаты.

4) Пусть в уравнении (38) два из трех коэффициентов , или – нулевые, а , т.е. уравнение плоскости имеет вид или или .

Если пл-ть имеет ур-ие , то его можно записать в виде , ⇒ , ⇒ ,

где . Но последнему уравнению удовлетворяют координаты точек (при любых и ). Следовательно, плоскость параллельна координатной плоскости и отсекает на оси отрезок .

Таким образом, плоскость, в уравнении которой отсутствуют две координаты, параллельна координатной плоскости, проходящей через оси отсутствующих координат.

5) Пусть в уравнении (38) и один из коэффициентов , или тоже нулевой, т.е. уравнение плоскости имеет вид или или .

Уравнению удовлетворяют координаты точек (при любом ). Следовательно, эта плоскость проходит через ось .

Ан-но получаем, что пл-ть прох-т через ось , а пл-ть – прох-т через ось .

5) Пусть в уравнении (38) три коэффициента равны нулю, т.е. уравнение плоскости имеет вид

или или .

Эти уравнения можно записать соответственно в виде , , .

Но это уравнения координатных плоскостей , , .

Замечание. Пусть плоскость не проходит через начало координат, – основание перпендикуляра, опущенного на из начала координат, – орт вектора . Так как является нормальным вектором плоскости , то ее общее уравнение можно записать в виде ,

где – расстояние от начала координат до плоскости (доказать самим). Этот частный случай общего уравнения плоскости называется нормальным уравнением плоскости.

Для плоскости, проходящей через начало координат, тоже можно записать нормальное уравнение. В этом случае оно будет иметь вид ,

где – направляющие косинусы нормали к плоскости.

Уравнения прямой в пространстве

В аналитической геометрии любая пространственная линия рассматривается как пересечение двух поверхностей. Прямую в пространстве можно задавать как пересечение двух плоскостей. Действительно, пусть и – уравнения непараллельных плоскостей. Тогда эти плоскости пересекаются по некоторой прямой . Координаты любой точки прямой удовлетворяют одновременно обоим уравнениям, т.е. являются решениями системы

(46)

Систему (46) называют общими уравнениями прямой в пространстве. Так как через любую прямую в пространстве проходит множество плоскостей, то любую прямую можно задать ее общими уравнениями и не единственным образом.

При решении задач удобнее использовать другие, более наглядные формы записи уравнений прямой – параметрические или канонические уравнения.

Получим параметрические и канонические уравнение прямой в пространстве, решив следующую задачу.

ЗАДАЧА 13.1. Записать уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку , параллельно вектору .

Также, как и для прямой на плоскости, вектор, параллельный прямой в пространстве, называют направляющим вектором этой прямой.

Пусть точка – текущая точка прямой. Обозначим через и – радиус-векторы точек и соответственно. Рассмотрим векторы и . По условию задачи они параллельны. Следовательно, существует такое число ( называют параметром), что

, ⇒ , (47) или, в координатной форме,

(48)

Уравнение (47) и систему уравнений (48) называют параметрическимиуравнениями прямой в пространстве (в векторной и координатной форме соответственно).

Если в задаче 13.1 вектор не параллелен ни одной из координатных плоскостей (т.е. если , и ), то из ур-й системы (48) можно выразить пар-тр : , ,

и заменить систему (48) одним уравнением вида: , (49)

где – координаты некоторой точки на прямой, – координаты направляющего вектора прямой.

Уравнения (49) называют каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Частным случаем канонических уравнений являются уравнения прямой, проходящей через две точки.

Действительно, пусть прямая проходит через две точки и . Тогда вектор

является ее направляющим вектором и канонические уравнения этой прямой будут иметь вид

. (50)

Уравнения (50) называют уравнениями прямой, проходящей через две точки и .

Каноническое уравнение эллипса (вывод)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости и есть величина постоянная и равная (). Точки и называют фокусами эллипса.

Получим уравнение эллипса. Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы и лежали на оси на одинаковом расстоянии от начала координат. В такой системе координат точки и будут иметь координаты: и ,

где . Пусть – текущая точка эллипса. По определению эллипса

, ⇒ .

Избавимся от квадратных корней: ,

⇒ ,

⇒ .

Приведя подобные слагаемые, получим: .

Снова возведем обе части в квадрат и приведем подобные слагаемые:

, ⇒ ,

⇒ , ⇒ .

Так как по определению , то . Следовательно, , для некоторого числа , и последнее равенство примет вид: .

Разделим обе части этого равенства на и окончательно получим: . (58)

Уравнение (58) называется каноническим уравнением эллипса. Система координат, в которой эллипс имеет такое уравнение, называется его канонической системой координат.

Каноническое уравнение гиперболы в декартовой системе координат (вывод)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости и есть величина постоянная и равная (). Точки и называют фокусами гиперболы.

Получим уравнение гиперболы. Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы и лежали на оси на одинаковом расстоянии от начала координат. В такой системе координат точки и будут иметь координаты: и ,

где . Пусть – текущая точка гиперболы. По определению гиперболы

, ⇒ ,

⇒ , Избавимся от квадратных корней:

⇒ ,

⇒ .

Приведя подобные слагаемые, получим: .

Снова возведем обе части в квадрат и приведем подобные слагаемые:

⇒ ,

⇒ ⇒ .

Так как по определению , то . Следовательно, , для некоторого числа , и последнее равенство примет вид: .

Разделим обе части этого равенства на и окончательно получим: .(59)

Уравнение (59) называется каноническим уравнением гиперболы. Система координат, в которой гипербола имеет такое уравнение, называется ееканонической системой координат.

Каноническое уравнение параболы в декартовой системе координат (с выводом)

Пусть – некоторая прямая на плоскости, – некоторая точка плоскости, не лежащая на прямой .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до фиксированной прямой и до фиксированной точки (не лежащей на прямой ) одинаково.

Точку называют фокусом параболы, прямую – директрисой.

Получим уравнение параболы. Пусть – расстояние от до . Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы директриса параболы была перпендикулярна оси , фокус лежал на положительной части и расстояние от начала координат до фокуса и до директрисы было одинаковым. В такой системе координат

и : . Пусть – текущая точка параболы. По определению пара.

, т.е. , ⇒ .

Избавимся от квадратного корня: ⇒ (61)

Уравнение (61) называется каноническим уравнением параболы. Система координат, в которой парабола имеет такое уравнение, называется ее канонической системой координат.