Теорема о дифференцируемости параметрически заданной функции

Если функция аргумента задана параметрически , дифференцируются, причем , то производная этой функции по переменной вычисляется по формуле:

Доказательство: Предположим, что дифференцируются и имеет обратную функцию , тоже дифференцируема. Тогда , считая промежуточным аргументом. Продифференцируем
итак,

Правило Лопиталя для неопределённости вида 0/0

Пусть f(x)и g(x)удовлетворяет 3 условиям:

1)функция f(x), g(x)определены и дифференцируемы в некоторой ů(∙)Xo

2)

3)

4)

Тогда существует

Доказательство:

Пусть и

1) Пусть

Для :

· f(x) и непрерывны в точке . Тогда по условию (2)

· если и имеет разрыв в точке , тогда - точка разрыва 1 рода.

Доопределим и

2) Пусть . Рассмотрим f(x) и g(x) на . удовлетворяют условиям теоремы Коши:

Рассмотрим , при