Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Свойства скалярного произведения векторов
|
|
1. Скалярное произведение векторов коммутативно, т.е. (
, 
) = (, 
).
(, ) = | |∙ | 
|∙ cos(
), а (, ) = | |∙| |∙ cos(
). И так как
| |∙ | |= | |∙| |, как произведение чисел и cos() = cos(), то
(, ) = (, ).
2. Скалярное произведение ненулевых векторов и равно произведению длины вектора 
на проекцию вектора на вектор (длины вектора на проекцию на ). Так как
то получаем: 
.
3. Числовой множитель любого из 2-х векторов можно вынести за знак скалярного произведения: (λ , ) = (, λ ) = λ(, ).
4. 
Если один из векторов записан в виде суммы, то их скалярное произведение тоже можно записать в виде суммы.
 |
5. Скалярное произведение вектора на себя (скалярный квадрат вектора) равно квадрату его длины. Т.е. (
) = | |2.
() = | |∙| | cos0 = | |∙| | = | |2.
| | = 
).
6. Физический смысл скалярного произведения.
Если под действием постоянной силы 
точка перемещается по прямой из т. М1 в М2, то работа силы будет равна А = (
).
Скалярное произведение векторов в декартовой системе координат (с выводом формулы).
Если в декартовом прямоугольном базисе векторы и имеют координаты:
= { 
; 
; 
}, = { 
; 
; 
}, то (, ) = 
+ 
+ 
Доказательство
Пусть = 
+ 
+ 
; = 
;
Найдем (, ) = ( + 
, ) = (
) + (, 
) +
+ (
) + (
) + (
) + (
) + (
) + (
)+(
) = (
) + (
) + 
(
) = 
2 + | 
|2 + | 
|2 = + 
.
Критерий ортогональности (перпендикулярности) векторов (доказать).
Ненулевые векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. 
Доказательство:
Если векторы перпендикулярны, значит угол м/у ними равен 90. Тогда скалярное произведение запишется: (
) = | |∙| | cos90 = 0.
Если () = 0 => векторы перпендикулярны, т.к. cos90 = 0.
Свойства векторного произведения (доказать) и его геометрический смысл.
Векторным произведением двух ненулевых векторов и называется вектор 
, удовлетворяющий следующим условиям:
1) | | = | | × | | × sinj, где j – угол между векторами и ;
2) вектор ортогонален векторам и ;
3) тройка векторов , и – правая.
Если хотя бы один из векторов или нулевой, то их векторное произведение полагают равным нулевому вектору. (Об: [ , ] или ´ .)
Свойства векторного произведения:
1) При перестановке векторов и их векторное произведение меняет знак, т.е. [ , ] = – [ , ].
Векторы [ , ] и [ , ] коллинеарны, имеют одинаковые модули, но противоположно направлены (тройки , , [ , ] и , , [ , ] противоположной ориентации). Значит, [ , ] = – [ , ].
2) Числовой множитель любого из двух векторов можно вынести за знак векторного произведения, т.е. [ l , ] = [ , l ] = l [ , ].
3) Если один из векторов записан в виде суммы, то векторное произведение тоже можно записать в виде суммы. А именно: [ 1 + 2, ] = [ 1, ] + [ 2, ][ , 1 + 2 ] = [ , 1 ] + [ , 2 ].
4) Критерий коллинеарности векторов.
Ненулевые векторы и коллинеарные Û их векторное произведение равно нулевому вектору.
5) Геометрический смысл векторного произведения.
Модуль векторного произведения неколлинеарных векторов и равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
6) Если в декартовом прямоугольном базисе векторы и имеют координаты: = { ax; ay; az }, = { bx; by; bz }, то
 |
7) Механический смысл векторного произведения.
Если вектор 
это сила, приложенная к точке M, то векторное произведение [ 
] представляет собой момент силы 
относительно точки O.
Критерий коллинеарности векторов (с док-ом, используя векторное произведение векторов).
Ненулевые векторы и коллинеарные Û их векторное произведение равно нулевому вектору.
Если || , то угол м/у ними равен 0 или 180.
Но тогда [ , ] = | | × | | × sin() = 0. Значит, [ , ] = 0.
Если же [ , ] = 0, то | | × | | × sinj= 0. Но тогда j = 0 или j = 180, т.е. ||
Вычисление векторного произведения в декартовой системе координат (с выводом формулы).
Пусть известны координаты векторов 
, то есть
Используя свойства векторного произведения, найдем:
Выражения в скобках можно записать с помощью определителей второго порядка (проверьте), то есть:
правую часть последнего выражения можно записать с помощью определителя третьего порядка:
Эта формула является удобной записью векторного произведения в координатах.
Смешанное произведение трёх векторов: определение и свойства (доказать).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Смешанным произведением трех векторов ā, b̄ и c̄ называется число, равное скалярному произведению вектора ā на векторное произведение векторов b̄ и c̄, т.е.
(ā, [ b̄, с̄ ]).
Обозначают: (ā, b̄, с̄) или ā b̄ с̄.
Свойства смешанного произведения
Если a,b,c и d — произвольные векторы, а t — произвольное число, то:
1) (a,b,c) = (b,c,a) = (c,a,b) = −(a,c,b) = −(c,b,a) = −(b,a,c);
2) (ta,b,c) = (a,tb,c) = (a,b,tc) = t · (a,b,c);
3) (a + b,c,d) = (a,c,d) + (b,c,d) (смешанное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов по первому
аргументу); (a,b + c,d) = (a,b,d) + (a,c,d) (смешанное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов по второму
аргументу); (a,b,c + d) = (a,b,c) + (a,b,d) (смешанное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов по третьему аргументу).
5)Если смешанное произведение векторов а, b, c положительно, то векторы а, b, c образуют правую тройку. Иначе векторы а, b, c образуют левую тройку
Критерий компланарности трёх векторов (доказать).
Критерий компланарности векторов
Векторы a,b и c компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное
произведение равно нулю.
Date: 2015-09-05; view: 726; Нарушение авторских прав