Критерий существования наклонной асимптоты

Для того чтобы прямая y = kx + b была наклонной асимптотой необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы ;

Доказательство: Точка Мо(хо,уо) и прямая L: Аx +By + Cz = 0,То расстояние d(Mo,L)

Пусть y=kx+b асимптота => d(M,L) 0 => kx – f(x) +b 0, тогда f(x)-kx b (при х стремящемуся к плюс бесконечности) существует предел: lim (f(x) – kx) =b, (при х стремящемуся к 0). (+ здесь нада начертить график)

Теорема об инвариантности формы первого дифференциала

Если функция z = f (x, y) удовлетворяет условиям, что функции x = x (u, v) и y = y (u, v) дифференцируемы в точке (u ₀, v ₀) и, следовательно, имеют в этой точке частные производные x ¢ _u, x ¢ _v, y ¢ _u, y ¢ _v, а функция z = f (x, y) дифференцируема в точке (x ₀, y ₀), где x ₀ = x (u ₀, v ₀), y ₀ = y (u ₀, v ₀). Тогда в точке (u ₀, v ₀) существуют и частные производные z ¢ _u, z ¢ _v сложной функции z = f (x (u, v), y (u, v)) и , то

Доказательство:

найдем = ()

() = + = чтд