Критерии сходимости Вейерштрасса монотонной последовательности

Монотонная и ограниченная последовательность является сходящейся

Доказательство:

{x_n}- монотонная и ограниченная, пусть {x_n}-возрастающая

x_n< x_n+1, n

{x_n}- ограничена т-ма Бальзана => ! Inf {x_n}, sup{x_n}, m=inf{x_n}, M=sup{x_n} =>

Докажем:

Возьмём . Тогда , так как M=sup{x_n}, то

Так как -возрастающая, то ,

, то есть,

Теорема о роли бесконечно малой в теории пределов (об эквивалентности утверждений: и , где -бесконечно малая при

Функция f(x) имеет A-const, α(x) – бесконечно малая.

Доказательство:

А) Необходимость.

|f(x)-A|< є f(x)-A→0, x→a

α(x)=f(x)-A=> f(x)=A+α; α(x)→0, x→a

Б) Достаточность.

f(a)=A+ α(x)

(Доказать)

Пусть є>0, α(x) – б.м. существует δ |x-a|< δ=>| α(x) |< є

α(x)=f(x)-A=> |f(x)-A|< є =>

Первый замечательный предел.

Предел отношения синуса бесконечно малой величины к самой этой величине равен 1

причем значения аргумента х берутся в радианах.

Рассмотрим в координатной плоскости круг R с центром в начале координат. Если OA=R, , 0<x< , AC OA, то плоскость плоскости сектора OAB<плоскости т.е. , отсюда sin(x)<x<tg(x), или .

В силу чётности функций и это неравенство справедливо и для . Перейдя в этом неравенстве к пределу при и заметив, что в сил непрерывности функции cos(x) при x=0 имеет место равенство , получим что равносильно начальному равенству.

Следствие из первого замечательно предела.

Теорема о произведении двух сходящихся последовательностей

Если , - сходящиеся последовательности, то и , то

Доказательство: бесконечно малая, бесконечно малая.

-бесконечно малая как линейная комбинация бесконечно малых.

-б.м.