Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов

▩ Пусть ABC — треугольник со сторонами а, b, с и противолежащими углами α, β, γ (рис. 8). Докажем, что Опустим из вершины С высоту CD. Из прямоугольного треугольника ACD, если угол α острый, получаем (рис. 8, а). Если угол тупой, то (рис. 8, б). Аналогично из треугольника BCD получаем . Итак, .. Отсюда Аналогично доказывается равенство Для доказательства надо провести высоту треугольника из вершины А. ▩

Рис. 8 (a, b)

ТЕОРЕМА 9. (ТЕОРЕМА ПИФАГОРА).

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

▩ Пусть ABC — данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С (рис. 9). По определению косинуса угла Отсюда АВ٠AD = АС2. Аналогично Отсюда АВ ٠ BD = ВС2. Складывая полученные равенства почленно и замечая, что AD + DB = АВ, получим: АС2 + ВС2 = АВ (AD + DB) = АВ2. ▩

Рис. 9