Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пусть событие может наступить только одновременно с одним из попарно несовместных событий , которые образуют полную группу. Кроме того, события имеют ненулевые вероятности.

Для любого наблюдаемого в эксперименте события имеет место следующее равенство, называемое формулой полной вероятности:

или

,

где события - гипотезы, -условная вероятность наступления события при наступлении -й гипотезы (, а безусловные вероятности трактуются как априорные (доопытные) вероятности гипотез.

Условная вероятность гипотезы , при условии того, что событие уже произошло, определяется по формуле вероятности гипотез или формуле Байеса:

где

Общая схема применения формулы Байеса следующая.

Пусть событие может происходить в различных условиях, о характере которых можно выдвинуть гипотез . Из каких-то соображений

известны вероятности этих гипотез , , и известны условные вероятности .

Предположим, что произведен опыт, в результате которого наступило событие , тогда условные вероятности гипотез (их называют апостериорными или послеопытными) будут рассчитываться по формуле Байеса.

Примеры решения задач

Задача1.

В составе Думы представлены 3 партии (по 100, 150, 50 человек от 1-й, 2-й и 3-й партий соответственно). Кандидата на должность спикера Думы поддерживают 50% представителей первой партии, 70% - второй партии и 10% - третьей партии. Какова вероятность того, что наудачу выбранный член Думы поддерживает выдвинутую кандидатуру на должность спикера Думы?

Решение:

Рассматривается событие A={наудачу выбранный представитель думы поддерживает выдвинутую кандидатуру }

Из условий задачи очевидно, что с событием тесно связаны три гипотезы:

{ выбранное лицо представляет первую партию};

{выбранное лицо представляет вторую партию};

{выбранное лицо представляет третью партию }.

Вероятности этих гипотез сразу определяются из условии задачи:

; ;

Условные вероятности события даны в условии задачи:

; ;

Вероятность события вычисляем по формуле полной вероятности:

Ответ: 0,7