Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны

ТЕОРЕМА 1. (ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕРСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ).

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть у треугольников ABC и А₁В₁С₁:

∠А = ∠А₁, АВ = А₁В₁ АС = А₁С₁ (рис. 1).

Докажем, что треугольники равны.

Рис. 1

▩ Пусть А₁В₂С₂ — треугольник, равный треугольнику ABC, с вершиной В₂ на луче А₁В₁ и вершиной С₂ в той же полуплоскости относительно прямой А₁В₁, где лежит вершина С₁, такой треугольник по А. 8 существует (рис. 1, a).

Так как А₁В₁ = А₁В₂, то вершина В₂ совпадает с вершиной В₁ по А. 6 (рис. 1, б). Так как ∠В₁А₁С₁ = В₂A₁С₂ то луч А₁С₂ совпадает с лучом А₁С₁ (рис. 1, в). Так как А₁С₁ = А₁С₂, то вершина С₂ совпадает с вершиной С₁ (рис. 1, г).

Рис. 1 (а, б, в, г)

Итак, треугольник А₁В₁С₁ совпадает с треугольником А₁В₂С₂, значит, равен треугольнику ABC. ▩

ТЕОРЕМА 2. (ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕРСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ).

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

▩ Пусть ABC и А₁В₁С₁ — два треугольника, у которых

АВ = А₁B₁, ∠А = ∠А₁ и ∠В = ∠В₁.

Докажем, что треугольники равны.

Пусть А₁В₂С₂ — треугольник, равный треугольнику ABC, с вершиной В₂ на луче А₁В₁ и вершиной С₂ в той же полуплоскости относительно прямой А₁В₁, где лежит вершина С₁. (Рис. 2)

Рис.2

Так как А₁В₂ = А₁B₁, то вершина В₂ совпадает с вершиной В₁.

Так как ∠B₁A₁C₂ =∠B₁A₁C₁ и ∠A_lB_lC₂ =∠А₁В₁С₁, то луч А₁С₂ совпадает с лучом А₁С₁, а луч В₁С₂ совпадает с лучом B_lC₁. Отсюда следует, что вершина С₂ совпадает с вершиной C₁.

Итак, треугольник А₁В₁С₁ совпадает с треугольником А₁В₂С₂, а значит, равен треугольнику ABC. ▩