![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Свойства гармонических функций
Пусть U(x,y,z) и V(x,y,z) -- две гармонические функции, то есть
тогда
Пусть В матричном виде приведенное равенство выглядит следующим образом или Подставим в функцию Очевидно, что Аналогично Запишем полученные равенства в матричной форме Поскольку оператор Лапласа есть квадрат векторного оператора набла В правой части будем иметь Поскольку матрицы направляющих косинусов являются ортонормированными, их произведения равны единичной матрице и оператор Лапласа принимает вид Отсюда следует, что оператор Лапласа является инвариантом по отношению к повороту осей, а при изменении масштаба множителем с изменяется на множитель
Пусть Но так как функция В случае, когда
Преположим обратное: внутри области
Любая область вне притягивающего тела есть область определения гармонической функции, внутри которой, согласно теореме 2, не может иметь ни минимума, ни максимума. Предположим обратное: внутри притягивающего тела существует точка Mы пришли к противоречию: вследствие минимума внутри малой сферы, нормальная производная на поверхности этой сферы будет положительной, следовательно и приведенные выше интегралы будут положительны, что противоречит сделанному выше выводу. Таким образом, теорему можно считать доказанной.
Обратимся к третьей формуле Грина, когда точка На поверхности сферы нормальная производная совпадает с производной по радиус-вектору, поэтому Кроме того, на поверхности сферы но согласно теореме Гаусса о потоке первое слагаемое в полученном выражении равно нулю, то есть что и требовалось доказать. Date: 2015-09-05; view: 1077; Нарушение авторских прав |