Классификация точек разрыва функции

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке

• Существуют левосторонний предел и правосторонний предел ;
• Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:

• Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

• Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции.

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Пример 3.13 Рассмотрим функцию (функция Хевисайда) на отрезке , . Тогда непрерывна на отрезке (несмотря на то, что в точке она имеет разрыв первого рода).

Рис.3.15.График функции Хевисайда

Аналогичное определение можно дать и для полуинтервалов вида и , включая случаи и . Однако можно обобщить данное определение на случай произвольного подмножества следующим образом. Введём сначала понятие индуцированной на базы: пусть -- база, все окончания которой имеют непустые пересечения с. Обозначим через и рассмотрим множество всех . Нетрудно тогда проверить, что множество будет базой. Тем самым для определены базы , и , где , и -- базы непроколотых двусторонних (соответственно левых, правых) окрестностей точки (их определение см. в начале текущей главы).

38. Производная. Её геометрический смысл. Дифференцируемость функции.

Пусть - функция, - произвольная (но фиксированная) точка из области её определения.

Производной функции в точке называется предел (если он существует и конечен) отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю.

Наиболее употребительны следующие обозначения производной:

Геометрический смысл производной – производная от данной функции f(x) при данном

значении x0 аргумента равна угловому коэффициенту касательной к графику этой

функции в соответствующей точке M0(x0, f(x0)).