Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Доказательство. Пусть, для определенности, в точке функция достигает своего наибольшего
Пусть, для определенности, в точке 
функция 
достигает своего наибольшего.
По условию теоремы эта точка внутренняя, т.е. 
, и поэтому к этой точке можно подойти и слева и справа.
Пусть мы подходим к слева. Тогда
(т.к. 
- наибольшее значение)
(т.к. мы подходим слева)
Делая предельный переход 
получим
Пусть мы подходим к точке справа. Тогда
(т.к. - наибольшее значение)
(т.к. мы подходим слева)
Делая предельный переход получим
Совместить два полученных неравенства можно только в одном случае: 
. ч.т.д.
Теорема Ролля. Пусть функция
а) определена и непрерывна на 
;
б) 
;
в) 
Тогда существует точка 
в которой 
.
Доказательство этой теоремы следует из такой логической цепочки рассуждений:
1. Так как определена и непрерывна на , то, по первой теореме Вейерштрасса, она ограничена на , т.е. существуют конечные 
и 
.
2. Если 
, то есть константа, т.е. 
и поэтому 
. В качестве точки c можно взять любую точку из .
3. Если 
, то, в силу условия и второй теоремы Вейерштрасса, хотя бы одно из значений 
или 
достигается во внутренней точке промежутка ,по теореме Ферма, в этой точке (их может быть и две) производная равна нулю.
45 Теорема Лагранжа
Теорема. Если функция 
непрерывна на отрезке 
и дифференцируема во всех его внутренних точках, то существует, по крайней мере, одна точка 
, в которой 
.
Доказательство. Рассмотрим график функции
Проведем хорду, соединяющую точки 
и 
, и запишем ее уравнение. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки на плоскости, получим:
,
откуда:
и 
.
Составим теперь вспомогательную функцию, вычтя из уравнения кривой уравнение хорды:
.
Полученная функция 
непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, вычисление в точках 
и 
показывает, что 
. Значит, функция на отрезке 
удовлетворяет требованиям теоремы Ролля. Но в этом случае существует такая точка , в которой 
.
Вычислим производную функции :
.
Согласно теореме Ролля в точке 
производная , то есть 
и
,
что и требовалось доказать.
Date: 2015-09-05; view: 360; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА... |