Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) средствами MATLAB

СЛАУ в матричной форме записывается в виде

AX = B, (1)

где

В скалярной форме записи

Система (1) имеет единственное решение, если

.

Систему уравнений (1) в MATLAB можно решить различными методами:

1. Использованием обратной матрицы.

Из (1) следует, что X = A ^-1 B. Данное выражение непосредственно вычисляется в MATLAB. Получить обратную матрицу можно с помощью функции inv(A), либо с помощью оператора A^-1, что означает A в степени -1.

2. Решение системы уравнений методом Гаусса.

Метод исключения Гаусса является одним из наиболее простых и эффективных методов. Алгоритм метода Гаусса основан на приведении матрицы А к треугольному виду (прямой ход) и последовательном вычислении неизвестных (обратный ход). Эти процедуры можно выполнять над невыраженными матрицами, в противном случае метод Гаусса неприменим.

Недостатком метода является накапливание погрешностей в процессе округления, поэтому метод Гаусса без выбора главных элементов используется обычно для решения сравнительно небольших (n < 100 - 200) систем уравнений с плотно заполненной матрицей и не близким к нулю определителем.

В MATLAB для решения систем уравнений (1) методом исключения Гаусса применяются следующие операторы: