Векторы. Линейные операции над ними. Свойства операций

Сложение векторов

Под параллельным переносом вдоль вектора понимают перемещение всех точек пространства в одном направлении на одинаковое расстояние. Определим сложение векторов так, чтобы последовательные сдвиги вдоль двух векторов соответствовали сдвигу вдоль суммы этих векторов.

Пусть даны два вектора и . Приложим вектор к некоторой точке O, получим . Приложим вектор к точке A, получим . Тогда вектор будем называть суммой векторов: .

Докажем, что данное определение не зависит от выбора точки O.

Приложим вектор к другой точке O ', получим . Приложим вектор к точке A ', получим .

Рассмотрим направленные отрезки и . Они, очевидно, равны (см. рис.), поскольку OBB ' O ' — параллелограмм.

Умножение на число

Произведением вектора на число k называется вектор, который:

1. коллинеарен вектору ;

2. сонаправлен ему, если k > 0, или противоположнонаправлен, если k < 0;

3. длины связаны следующим соотношением: .

Данное определение согласовано с определением сложения:

для любого натурального n.