Влияние кривизны Земли на горизонтальные и вертикальные расстояния

Примем общую фигуру Земли за сферу радиуса К. (рис. 9) и выберем на ней две произвольные точки А и В. Расстояние между этими точками пусть будет й, а центральный угол, соответствующий дуге й, обозначим а. Вместо сферической поверхности возьмем плоскость, касательную к ней в точке А, и продолжим радиус ОВ до пересечения с этой плоскостью в точке С. Пусть при этом отрезок касательной АС=г, тогда в горизонтальном расстоянии между точками А и В произойдет ошибка Ай=г-а, а в вертикальном АЬ=ОС—ОВ, из рис.9 находим 1=К1§а и й=Ка, где угол

а

а = — (111.1)

К

выражен в радианах.

Тогда Ай=К(1§ а - а). Так как практически, а весьма незначительно в сравнении с К, то угол а настолько мал, что приближенно можно принять

_а3

гда - а = —. 3

Учитывая (111.1), найдем

Я! С

Рис. 9 Определение расстояния с учетом кривизны Земли.

а=1 й!

3 = 3 К²

Приняв К=6371 км: й=10 км, по формуле (Ш.2) получим ЛЬ= 1 см и ЛЬ: й =1: 1000000. Отсюда следует, что заменяя дугу АВ отрезком касательной АС, при расстояниях до 10 км сделаем ошибку, меньшую 1: 1 000000 длины этой дуги. Такая ошибка считается допустимой при самых точных измерениях горизонтальных расстояний на земной поверхности. С увеличением же й ошибка Лй растет очень быстро, так как она пропорциональна кубу расстояний.

Угол ВАС = 1а как угол, составленный касательной и хордовой. По малости этого угла 2

отрезок ЛЬ можно рассматривать как дугу радиуса й. Тогда

АИ = —а • й. 2

Подставив вместо а его выражение из формулы (111.1) найдем

л, 1 й³

АИ = -• —. (1113)

2К

Придавая в формуле (III.3) различные числовые значения й, получим значения ЛЬ, приведенные в табл.1. Таблица 1

Для инженерных целей высоты точек земной поверхности необходимо бывает определять с относительно высокой точностью, допуская на 1 км ошибку не более 2 см. Отсюда заключаем, что

при измерении вертикальных расстояний нельзя пренебрегать кривизной Земли даже при небольших горизонтальных расстояниях между точками.

Обращаясь снова к рис.2, заметим, что в горизонтальной плоскости МЫ в пределах площади круга диаметром 20 км отрезки аЪ, Ъс, ей... практически сохраняют ту же длину, что и на сфере. Углы между этими отрезками от замены сферической поверхности плоскостью МЫ также практически не изменят своей величины. Поэтому и вся фигура аЪсйе как да сфере, так и на плоскости практически будет изображаться одинаково. В этом смысле мы и говорим, что контуры местности при проек­тировании их на плоскость в пределах площади круга диаметром 20 км изобразятся без искажений, вызываемых кривизной Земли.

$ 12. Понятие о карте. Различие между картой и планом

В тех случаях, когда на плоскости изображают значительную территорию, нельзя пренебрегать кривизной Земли, а следует ее учитывать. На больших площадях проектирование контуров отвесными линиями производят уже не на плоскость, а на сферическую поверхность; при этом отвесные линии в различных точках земной поверхности нужно считать не параллельными между собой, а пересекающимися в центре сферы.

Сферическая поверхность не может быть развернута на плоскости без складок и разрывов, поэтому спроектированные на сферическую поверхность контуры местности не могут быть перенесены на плоскость бумаги с сохранением подобия, т. е. без искажений. Задача при этом состоит не в полном устранении искажений, что невозможно, а в уменьшении искажений и в математическом определении их значений с тем, чтобы по искаженным изображениям можно было с

помощью вычислений получать действительные величины. Построенные по определенным математическим законам уменьшенные изображения на плоскости зна­чительных частей земной поверхности, размеры которых не позволяют пренебрегать кривизной Земли, называются картами.

При создании карт прежде всего строят географическую сеть меридианов и параллелей, называемую картографической сеткой, внутри которой располагают изображаемые контуры.

Картографическая сетка служит внешним признаком, отличающим карту от плана. Существенное же различие между картой и планом состоит в следующем:

1. план - это изображение проекций небольших участков земной поверхности на горизонтальную плоскость; карта - изображение проекций больших территорий Земли на сферическую поверхность;

2. длины, углы и площади контуров горизонтальной проекции на плане не искажаются, а

на картах, вообще говоря, искажаются.

Другими словами, масштаб плана остается постоянным для всех частей плана. На картах же и в особенности на тех, которые изображают всю Землю или большую часть ее поверхности, масштаб меняется не только в различных частях карты, но и по различным направлениям, выходящим из одной точки.

При построении карты предполагают, что поверхность Земли изображается сначала на глобусе определенного размера, а затем уже с его поверхности переносится на плоскость.

Вдоль одной или нескольких линий (меридианов, параллелей или других линий) масштаб картографической сетки равен масштабу глобуса, служащего основанием для построения карты. Этот масштаб называется главным. В других частях сетки масштабы будут иные. Их называют частными.

Чем меньше часть земной поверхности, которую охватывает карта, тем ближе карта по своим свойствам к плану и тем меньше уклонения частных масштабов от главного. Значительные уклонения частных масштабов от главного имеют географические карты, которые охватывают большие территории; они дают обобщенную характеристику местности и составлены в очень мелких масштабах. Топографические карты, служащие для подробного ознакомления с местностью, составляемые в более крупных масштабах и охватывающие на отдельных листах сравнительно небольшие территории, по своим свойствам весьма близки к планам.

Влияние масштаба на содержание и использование карт так велико, что карты принято классифицировать по масштабам, различая карты крупного, среднего и мелкого масштабов. Такое деление условно. В советской практике принято считать крупномасштабными карты масштабов 1:100000 и крупнее, среднемасштабными — от 1:200000 до 1:1000000 и мелкомасштабными— мельче 1:1000000.

Крупномасштабные карты называются топографическими. Это наиболее подробные карты с изображением на них контуров и рельефа земной поверхности.

Основной государственной картой России является карта масштаба 1:1 000000. Размер рамки каждого листа этой карты составляет 4° по широте и 6° по долготе. В северных широтах от 60 до 76° листы сдваиваются, а от 76 до 88° учетверяются по долготе. Размерам рамки листа миллионной карты, на котором находится Москва, соответствует на местности площадь приблизительно в (444 х 372) км².

Каждому

листу картыРис. 20 Система обозначения листов карты М 1:1000000

миллионного

масштаба соответствуют 144 листа масштаба 1:100000; московскому листу карты этого масштаба на местности соответствует площадь приблизительно в (37 х 31) км². Каждый лист карты масштаба 1:100000 охватывает территорию, при изображении которой кривизна Земли практически почти неощутима. Тем более это справедливо для листов карт более крупных масштабов.

Листу карты масштаба 1:100000 соответствуют 4 листа карты масштаба 1:50000. Размеры рамки московского листа карты пятидесятитысячного масштаба примерно соответствуют площади в

37 1 ч 2 2

— х—) км, или (18,5х15,5) км. Следовательно, каждым листом карты масштаба 1:50 000 и 2 2

крупнее можно пользоваться как планом.

Номенклатура карт и планов

Для удобства пользования многолистной картой каждый ее лист получает определенное обозначение, причем расположение отдельных листов указывается в особой таблице, называемой сборно й. Система обозначения отдельных листов карты называется номенклатурой карты.

В основу номенклатуры карт различных масштабов в России положена государственная карта масштаба 1:1000000.

Деление на листы этой карты выполняется следующим образом. Вся земная поверхность делится меридианами, проводимыми через 6°, на 60 колонн. Колонны нумеруются арабскими цифрами; счет колонн ведется с запада на восток от меридиана с долготой 180° (рис. 10). Колонны в свою очередь разделяются на ряды параллелями, проводимыми через 4°. Ряды обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, счет рядов ведется от экватора к северному и южному полюсам. Проведенные таким образом меридианы и параллели служат рамками отдельных листов карты.

Номенклатура листа складывается из указания ряда и колонны, в которых расположен данный лист; например, N-37—номенклатура листа, на котором находится Москва.

1:200000

1:100000

1:500000

Рис. 11 Номенклатура листов карт среднего масштаба

Одному листу карты масштаба 1:1000000 соответствуют: 4 листа карты масштаба 1:500000, обозначаемые заглавными буквами русского алфавита А, Б, В, Г, присоединяемыми к номенклатуре миллионного листа; 9 листов карты масштаба 1:300000,

обозначаемые римскими цифрами I—IX, помещаемыми впереди номенклатуры миллионного листа; 36 листов карты масштаба 1:200 000, обозначаемые римскими цифрами I—XXXVI, присоединяемыми справа к номенклатуре миллионного листа; 144 листа карты масштаба 1:100000, обозначаемые арабскими цифрами 1—144, следующими за номенклатурой миллионного листа (рис. 11). Данные этой разграфки для листа карты N-37 масштаба 1:1 000000 приведены в табл. 2. Таблица 2

N-37-144

41°30" 41°45'

42°о:

52 20'

1:50000

Рис. 12. Номенклатура листа карты М 1:50000

N-37-144-Г

о 4}ЧУ 41°52'30'~ 42°о;„₀

52 10"

1:250000 и 1:10000

Рис. 13. Номенклатура листов карт М 1:25000 и М 1:10000

Лист карты масштаба 1:100000 служит основой для разграфки и номенклатуры листов карт более крупных масштабов. Одному листу карты масштаба 1:100000 соответствуют 4 листа карты масштаба 1:50000, которые обозначаются заглавными буквами русского алфа вита А, Б, В, Г, присоединяемыми к номенклатуре стотысячного листам Каждый такой лист (рис. 12) имеет рамку размером 10' по широте и 15—по долготе. Номенклатура последнего листа, соответствующего листу карты N-37-144 масштаба 1:100000, будет N-37-144-1'. Одному листу масштаба 1:50 000 соответствуют 4 листа масштаба 1:25 000, которые обозначаются строчными буквами русского алфавита а, б, в, г, присоединяемыми к номенклатуре пятидесятитысячного листа (рис. 13); одному листу масштаба 1:25000 соответствуют 4 листа масштаба 1:10000, обозначаемые арабскими цифрами 1—4, следующими за номенклатурой двадцатипятитысячного листа.

Данные для разграфки листа карты масштаба 1:100000 на листы карт более крупных масштабов представлены в табл. 3.

Лист карты масштаба 1:100000 служит также основой для разграфки и номенклатуры листов планов масштабов 1:5000 и 1:2000.

Одному листу карты масштаба 1:100000 соответствуют 256 (16 х 16) листов плана масштаба 1:5000, которые обозначаются цифрами 1, 2,..., 256, заключаемыми в скобки. Каждый такой лист

20',,, 30',,,

имеет рамку размером = 115 по широте и ^^ = 152,5 по долготе. Номенклатура последнего

листа плана масштаба 1:5000, соответствующего листу карты N-37-144 масштаба 1: 100000, будет N 37-144-(256).

Одному листу плана масштаба 1:5000 соответствуют девять листов плана масштаба 1:2000, которые обозначаются строчными буквами русского алфавита а, б, в, г, д, е, ж, з, и, заключаемыми в

115'',, 1'52",5 _г

скобки. Каждый такой лист имеет рамку размером —3— = 25 по широте и —3— = 37,5 по

долготе. Номенклатура последнего листа плана масштаба 1:2000, соответствующего листу N-37-144- (256), будет ^37-144-(256-и). Приведенные данные представлены в табл. 4.

$ 14. Равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция

Положение точек земной поверхности на глобусе определяется географическими координатами при помощи градусной сетки, а на карте - теми же координатами при помощи картографической сетки. На плане и топографической карте для той же цели пользуются плоскими прямоугольными координатами. Чтобы установить связь между географическими координатами любой точки Земли на сфере или сфероиде и прямоугольными координатами той же точки на плоскости, применяют особый способ проектирования всего земного шара на плоскость по частям, или по так называемым зонам; весь земной шар разделяют при этом меридианами на шести- или трехградусные зоны, простирающиеся от северного полюса к южному (рис. 14).

Деление поверхности земного шара на шестиградусные зоны соответствует разграфке листов миллионной карты. Счет зон ведется на восток от нулевого меридиана, проходящего через Гринвич, а счет колонн - на восток от меридиана с долготой 180°, поэтому номер зоны для данного листа миллионной карты равен номеру колонны минус 30. Так, для листа миллионной карты, имеющего номенклатуру N-37, зона будет иметь номер 7. Отсюда легко сообразить долготы меридианов на восточной и западной границах этой зоны. Долгота восточного меридиана, очевидно, будет 6° х 7=42°, а западного 42°- 6°=36°. Средний меридиан седьмой зоны имеет долготу 39°. Каждую данную зону проектируют на плоскость отдельно при помощи цилиндра.

Если общую фигуру Земли рассматривать как сферу, то цилиндр должен иметь в поперечном сечении круг. Ось такого цилиндра, проходящую через центр сферы, надо вообразить в плоскости земного экватора так, чтобы шар касался цилиндра по среднему меридиану _г данной зоны. На поверхность такого цилиндра и проектируют избранную зону под условием сохранения равенства углов на сфере и на цилиндре, а затем цилиндр развертывают на плоскости. В результате получают изображение данной зоны в проекции на плоскость (рис.15). Такая проекция называется равноугольной поперечно - цилиндрической*. так как она получается при помощи цилиндра, ось которого расположена поперек земной оси, и углы местности изображаются в этой проекции без искажений. Средний меридиан зоны изображается прямой. Вся зона переходит со сферы на плоскость в несколько расширенном виде.

Рис. 14.Разбивка фигуры Земли на 6-ти градусные зоны.

Все длины линий в этой проекции несколько преувеличены по сравнению с их натуральными горизонтальными проекциями; искажения длин тем больше, чем дальше линия расположена от среднего меридиана зоны. На границах зон в пределах широт от 30 до 70° относительные ошибки, происходящие от искажения длин линий в этой проекции, колеблются от 1:1000 до 1:6000. Когда такие ошибки недопустимы, прибегают к трехградусным зонам.

На картах, составленных в равноугольной поперечно-цилиндрической проекции, искажения длин в различных точках проекции различны, но по разным направлениям, выходящим из одной и той же точки, эти искажения будут одинаковы. Круг весьма малого радиуса, взятый на уроненной поверхности, изобразится в этой проекции тоже кругом. Поэтому говорят, что рассматриваемая проекция конформна, т. е. сохраняет подобие фигур на сфере и в проекции при весьма малых раз­мерах этих фигур. Таким образом, изображения контуров земной поверхности в этой проекции весьма близки к тем, которые получаются на планах, а вблизи среднего меридиана зоны практически такие же, как и на планах.

Проектируя последовательно одну зону за другой, можно представить в этой проекции всю поверхность земного шара. В географическом отношении такая проекция не имеет практического значения, так как она дает не сплошное изображение всей земной поверхности, а с разрывами, увеличивающимися к полюсам. Эта проекция ценна тем, что она, во-первых, позволяет выбирать системы плоских прямоугольных координат по всей поверхности Земли с единым началом координат для каждой данной зоны; во-вторых, дает возможность находить по географическим координатам любой точки земного шара или сфероида прямоугольные координаты ее изображения и, наоборот, по данным плоским прямоугольным координатам точки в этой проекции вычислить соответствующие им географические координаты на сфере или на сфероиде.