Понятие о методе наименьших квадратов

Как правило, все геодезические измерения выполняются в таком количестве, которое обеспечивает контроль измерений и дает возмож­ность выполнить оценку точности. При производстве массовых геодезических работ, наиболее надежные результаты отыскивают для совокуп­ности измеренных величин по принципу наименьших квадратов. Этот принцип, предложенный Гауссом и Лежандром предусматривает такое решение задачи, при котором сумма квадратов поправок к измеренным величинам будет минимальной. Такое решение будет самым надежным с вероятностной точки зрения.

Например, если отыскивать по этому принципу наиболее надежный результат "Х" из ряда равноточных измерений одной и той же величины, то потребуется определить минимум функции

Откуда
, то есть получим формулу арифметической средины.

А так как , то при значении Х = [l]/n = L получим минимум исходной функции.

Справедливость принципа наименьших квадратов можно показать и нa таком примере. Пусть в треугольнике измеряют равноточные углы и сумма углов оказалась равной 180°00¢06², f_b= б". Естественно предположить, что если измерения выполнены равноточно, то каждому углу нужно придать поправку
тогда [n²] = 12. Если невязку распределить неравномерно, например

V₁ = -6^²; V₂ =0; V₃ = 0, то [n²] = 36

или

V₁ = -1 ²; V₂ =-1 ²; V₃ = 4 ², то [n²] = 18.

Иначе говоря, если сумма квадратов поправок минимальна, то искомый результат будет по вероятности самым надежным, этот же принцип при неравноточных измерениях выражают соотношением

[p*V²] = min.