Вычисление средней квадратической ошибки одного измерения по отклонениям oт наиболее надежного значения

На практике истинные ошибки измерений обычно т неизвестны и вместо них приходится пользоваться отклонениями n отдельных результатов измерений от наиболее надежного значения. Если измерения равноточные, то таким наиболее надежным значением будет среднее арифметическое L. Отклонения от среднего обладают един­ственным свойством, что их сумма всегда равна нулю, т.е. если

L = [ l] / n и n _i = l_i – L, то [n] = 0.

Имея величины n можно вычислить и среднюю квадратическую ошибку одного измерения. Это следует из такого вывода. Пусть дан ряд равноточных измерений l₁, l₂...l_n, x - истинное значение измерений величины, L - среднее, наиболее надежное значение.

Составим уравнения ошибок и уравнения отклонений

D₁ = l₁ – x n₁ = l₁ - L

D₂ = l₂ – x n₂ = l₂ - L

.................................................................

.................................................................

D_n = l_n – x n_n = l_n - L

Составим последовательные разности уравнений и выразим истинные ошибки через отклонения

D₁ - n₁ = L – x D₁ = n₁ + (L - x)

D₂ - n₂ = L – x D₂ = n₂ + (L - x)

..............................................................................

...............................................................................

D_n - n_n = L – x D_n = n_n + (L - x)

Каждое из этих уравнений возведем в квадрат и сложим затем все уравнения

D₁² = n₁² + 2n₁ * (L – x) + (L - x)²

D₂² = n₂² + 2n₂ * (L – x) + (L - x)²

........................................................

........................................................

D_n² = n_n² + 2n_n * (L – x) + (L - x)²

----------------------------------------------------

[D²] = [v²] + 2 * (L – x) * [v] + n * (L - x)²

так как [n] = 0, тo [D²] = [v²] + n * (L - x)²

В свою очередь разность (L – x) представляет собой истинную ошибку среднего арифметического. Если замерять ее средней квадратической ошибкой, m_L полагая, что m_L = m / Ön» L – x, то получим [D²] = [v²] +m² или

Решая последнее уравнение, получим

или , (81)

Эту формулу впервые вывел немецкий ученый Бессель, и она носят его имя.