Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо

Годовая рента. Напомним, что под современной стоимостью потока платежей понимают сумму дисконтированных членов этого потока на некоторый предшествующий момент времени. Вместо термина "современная стоимость" (современная вели­чина) потока платежей в зависимости от контекста употребля­ют термины капитализированная стоимость или приведенная ее-личина. Как было показано выше, современная стоимость пото­ка платежей эквивалентна в финансовом смысле всем плате­жам, которые охватывает поток. В связи с этим данный показа­тель находит широкое применение в разнообразных финансо­вых расчетах (планирование погашения долгосрочных займов, реструктурирование долга, оценка и сравнение эффективности производственных инвестиций и т.д.). В общем виде метод оп­ределения современной величины потока платежей (метод пря­мого счета) рассмотрен в § 5.1. Здесь же объектом анализа яв­ляется постоянная финансовая рента постнумерандо.

Методы расчета современных стоимостей финансовых рент обсудим в том же порядке, что и методы наращения рент и поч­ти столь же детально. Начнем с самого простого случая — го­довой ренты постнумерандо, член которой равен R, срок ренты — п, ежегодное дисконтирование. Рента немедленная. В этих условиях дисконтированная величина первого платежа равна Rv, второго — Rv², последнего — Rv". Как видим, эти величи­ны образуют ряд, соответствующий геометрической профессии с первым членом Rv и знаменателем v. Обозначим сумму чле­нов этой профессии через А:

A-Ryv' = Rv- ----------- --R—^V--

h v-i

/ х- (5-14)

1- (l + i)

I

Назовем множитель, на который умножается R, коэффициен­том приведения ренты, он обозначен как а_пЧ (в литературе встречается обозначение a_n,j). Этот коэффициент характеризует современную стоимость ренты с членом, равным 1. Значения a_n;i табулированы (см. табл. 7 Приложения).

Поскольку рассматриваемый параметр часто применяется в финансовых расчетах, полезно, обратить внимание на некоторые его свойства. Очевидно, что чем выше значение /', тем меньше величина коэффициента. Нетрудно показать, что при / = О

%=о ^{= Л}-

При увеличении срока ренты величина а_пЛ стремится к не­которому пределу. При п =» предельное значение коэффици­ента составит

Lim

!-(!♦«)-

(5.15)

Полученное выражение применяется при расчете современ­ной стоимости вечной ренты, о чем пойдет речь в § 5.5.

График зависимости а_пЧ от п показан на рис. 5.2.

Воспользуемся формулой (5.14) для определения взаимосвя­зи коэффициентов приведения ограниченной и вечной рент:

"„;/ =

(1 + /Г" 1 1

. =7 " ° ⁺ °~" ^х у ⁼ ° " ^уМ)а~*^т

Рис. 5.2

ПРИМЕР 5.9. Годовая рента постнумерандо характеризуется па­раметрами: Я = 4 млн руб, п = 5. При дисконтировании по слож­ной ставке процента, равной 18,5 % годовых, получим

1 - 1.185"^5
А = 4a*iRs = ^{4 х}-------- ГТ^------ = ^{4 х} 3,092 = 12,368 млн руб.

О,185

Таким образом, все будущие платежи оцениваются в настоя­щий момент в сумме 12,368 млн руб. Иначе говоря, 12,368 млн руб., размещенных под 18,5% годовых, обеспечивают ежегодную выплату по 4 млн руб. в течение 5 лет.

Заметим, что формула (5.14) может быть применена и для определения современной стоимости /ьсрочной ренты. В этом случае переменная п означает число периодов ренты, а / — став­ку за один период (но не годовую).

Коэффициент приведения ренты за срок п = л, + п₂ опреде­ляется следующим образом:

^ан;1 - Я*,;/

+ в|.₂У¹- (5.16)

Годовая рента, начисление процентов т раз в году. Не будем выводить формулу для этого случая, а просто заменим в форму­ле (5.14) дисконтный множитель (1 + /)~^/| на эквивалентную ве­личину (1 + j/m)~^mn, соответственно, / заменим на (1 + j/m)^m -— 1, после чего имеем:

1 -(1 +7/тГ'™

Л = R _/л ,.. _чт------ — = Ra_mn._i/m. (5.17)

(1 +у//и)^т - 1 ^mnj/m

Рента /^-срочная (т = 1). Если платежи производятся не один, а р раз в году, то коэффициенты приведения находятся так же, как это было сделано для годовой ренты. Только теперь размер платежа равен R/p, а число членов составит пр. Сумма дисконтированных платежей в этом случае равна

А - -? v^t/p - R _r¹"'^1+l'---------- - Ra^{p). (5.18)

ПРИМЕР 5.10. В первой главе упоминалась авария на химиче­ском заводе в Бхопале (Индия). Корпорация "Юнион Карбайд" предложила в качестве компенсации пострадавшим 200 млн долл., выплачиваемых в течение 35 лет. Предложение было от­клонено ("За рубежом". 1985. № 11). Предложенная компенсация

эквивалентна 57,5 млн долл., выплаченных единовременно. Пока­жем, как была рассчитана эта сумма.

Если выплаты производятся помесячно на протяжении 35 лет равными суммами, то данный ряд платежей представляет собой постоянную ренту (р = 12) с годовой суммой выплат 200/35 = = 5,714 млн долл. в год. Допустим, это рента постнумерандо. То­гда согласно (5.18), положив / = 10%, получим

1 - 1,1-35 А = 5,714 _{1 11/12} _ = 57,59 млн долл.

Иначе говоря, капитал в сумме всего 57,59 млн долл. при на­числении 10% годовых достаточен для выполнения обязательства.

Рента ^-срочная (р = /и). Число членов ренты здесь равно числу начислений процентов; величина члена ренты составляет R/m. В итоге

R 1 -(1 +7/w)-"^w1 -(1 +у/тГ™

А = х------------------ = R ----------:--------. (5.19)

т j/m j

Этот же результат можно получить и по формуле (5.14) и при этом воспользоваться таблицей коэффициентов приведения по­стоянных рент. В этом случае вместо числа лет берется количе­ство периодов ренты, процентная ставка и величина члена рен­ты определяются соответствующим образом.

Для расчета современной стоимости платежей ренты с усло­вием р = т можно воспользоваться программой ПЗ (PV) паке­та Excel, которая определяет величину А с учетом единовремен­ного взноса в конце срока. Расчет производится по формуле

А = R х a_n;i + БС х (1 + /Г^Л,

где R — член ренты, БС — единовременный взнос, a_n;i — коэф­фициент приведения постоянной ренты, п — число'периодов выплаты ренты и начисления процентов, / — процентная став­ка за период.

Date: 2015-09-19; view: 663; Нарушение авторских прав