Метод вариации произвольной постоянной

Рассмотрим уравнения

(2.10),

(2.11)

Общее решение неоднородного уравнения (2.10) находим по формуле

, (2.12)

где - общее решение однородного уравнения (2.11), а - частное решение неоднородного уравнения (2.10).

Пусть найдена фундаментальная система решений и общее решение соответствующего однородного д.у. (2.11). Тогда частное решение уравнения (2.10) может быть найдено с помощью метода вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).

Сущность метода состоит в следующем. Частное решение неоднородного уравнения (2.10) ищется в виде (2.12), где заменены неизвестными функциями , т.е.

(2.13).

Можно доказать, что функции находятся из системы д.у.:

(2.14)

Замечание: Системой (2.14) можно пользоваться, если коэффициент при в (2.10) тождественно равен единице. В противном случае уравнение нужно привести к указанному виду.

Система (2.14) имеет единственное решение

т.к. определитель системы не равен нулю при в силу линейной независимости и .

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение: Решая характеристическое уравнение , находим .

Соответственно, общее решение линейного однородного д.у. имеет вид . Для нахождения частного решения

исходного дифференциального уравнения найдем из системы

Решая эту систему, находим . Интегрируя д.у. с разделяющимися переменными, получаем

,

и

.

Тогда общее решение исходного д.у. имеет вид

.

Ответ: .