Задача 1.7 (6)

Дан закон движения точки по окружности радиуса R = 5 м:

(s – см; t –с). (л)

1. Определить скорость и ускорение точки при t = 0 и t₁ = 10 с.

2. Определить моменты остановки точки.

1. Определить путь, пройденный точкой за 10 с.

Решение

Рис. 1.8

1. На траектории отметим точку O – начало отсчета координаты s и укажем положительное направление отсчета этой координаты стрелкой (рис. 1.8). Отметим положение точки в моменты времени t = 0 и t1 = 10 с. При t = 0 s0 = -15 см; при t1 = 10 с s1 = 355 см. Положение точек M0 и M1 указано на рис. 1.8. Проведем из точек M0 и M1 естественные оси координат t 0, n0; t 1, n1.

Определим проекцию скорости на касательную , учитывая (л),

. (м)

При t = 0, Vt _o = 162 см/с и t₁ = 10 c Vt ₁ = 12 см/с.

Теперь отложим найденные проекции скорости из точек M₀ и M₁ по соответствующим касательным: Vt _o – по касательной t _o, Vt ₁ – по касательной t ₁. Векторы ` V<sub>o</sub> и ` V₁ совпадают со своими проекциями Vt _o и Vt₁.

Определим проекции ускорения на естественные оси координат, учитывая (л),

см/с²; см/с².

Ускорение точки .

При t = 0 см/с²; см/с²;

см/с².

При t₁ = 10 с см/с²; см/с²;

см/с².

Отложим из точек M₀ и M₁ по естественным осям проекции аt _o, а _no, аt ₁, а _n1. Векторы` a <sub>0</sub>,` a ₁ изображаются диагоналями прямоугольников, построенных на проекциях ускорений.

2. Чтобы найти моменты остановки, необходимо найти время t*, когда скорость точки равна нулю. Из уравнения (м) получим

3(t*)² – 45t* + 162 = 0.

Решив это уравнение, будем иметь t₁* = 6 с, t₂* = 9 с.

3. Поскольку за 10 с точка сделала две остановки (см. п. 2), пройденный ею путь за 10 с можно найти как сумму пути, пройденного точкой от начального положения до первой остановки, пути, пройденного точкой от первой до второй остановки, и пути, пройденного точкой от второй остановки до момента времени t₁ = 10 с, т.е.

,

где s₀ = -15 см;

см;

см;

см.

Путь, пройденный точкой за 10 с, равен

см.