Процесс ортогонализации Грама-Шмидта

Для дальнейшего изучения евклидовых пространств важно уметь строить в этих пространствах ортонормированные базисы. Как будет показано в следующей теореме, по произвольному базису евклидова пространства всегда можно построить ортонормированный базис.

Теорема 3.6. В любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

□ Выберем произвольный базис в -мерном евклидовом пространстве . Существование искомого ортонормированного базиса в пространстве докажем его построением.

На первом шаге положим векторы , , причем .

На втором шаге построим вектор так, чтобы он был ортогонален вектору . Подберем его в виде

.

Из условия ортогональности векторов и получим

,

откуда . Итак, вектор имеет вид

.

Пронормировав его, получим единичный вектор .

На третьем шаге строим вектор

так, чтобы он был ортогонален векторам и . Из условия ортогональности векторов и , и получим

откуда Итак, вектор имеет вид

.

Пронормировав его, получим единичный вектор

Продолжая процесс построения векторов () при условии, что ортогонален векторам , получим

,

.

В силу того, что построенные векторы единичные и попарно ортогональные (а значит, линейно независимые), то они образуют ортонормированный базис евклидового пространства. ■

Рассмотренный выше процесс построения ортонормированного базиса по произвольному базису называют процессом ортогонализации Грама-Шмидта. Итак, процесс ортогонализации заключается в последовательном вычислении следующих векторов:

Составление ортогонального базиса	Процесс нормировки, получение ортонормированного базиса	Условия ортогональности векторов
	,
	,
	,	,
……………………………………	…………….……………	…………………
	, ,	, …………….

Рассмотрим на примере процесс ортогонализации Грамма-Шмидта.

Пример 3.2. В пространстве со стандартным скалярным произведением задан базис :

.

Провести процесс ортогонализации Грама-Шмидта системы векторов базиса .

Решение. Проведем процесс ортогонализации Грама-Шмидта системы векторов базиса . Согласно предложенной методике решения задачи вычисляем следующие векторы:

, , , ;

, ,

, , ;

, ,

, ,

, .

Итак, ортонормированный базис состоит из векторов:

, , .