Базис и размерность конечномерного линейного пространства

В линейном пространстве можно найти такую систему векторов, через которую можно единственным образом выразить любой вектор этого пространства. Она называется базисом линейного пространства.

Определение 1.9. Базисом в линейном пространстве называется упорядоченная система векторов , удовлетворяющая условиям:

1) система векторов является линейно независимой,

2) система векторов порождает линейное пространство , то есть .

Рассмотрим простейшие свойства базиса.

Теорема 1.1. Если есть базис линейного пространства , то каждый вектор может быть единственным образом разложен по векторам базиса , то есть существуют и однозначно определены числа такие, что:

. (1.9)

□ Предположим, что вектор в базисе имеет два различных разложения

.

Вычитая из первого равенства второе, получим

.

Так как система векторов является линейно независимой, то последнее равенство возможно только в том случае, когда все коэффициенты линейной комбинации в левой части равны нулю, то есть , что и доказывает единственность разложения (1.9) для вектора по векторам базиса. ■

Определение 1.10. Коэффициенты в разложении (1.9) называются координатами вектора в базисе , а сами векторы – базисными векторами.

Координаты вектора в базисе – упорядоченный набор чисел, который представляется в виде координатного вектор-столбца

или

(нижний индекс у вектор-столбца означает привязку координат к базису ).

Разложение (1.9) удобно записывать в условном матричном виде

. (1.10)

Отметим, что базис – это упорядоченная система векторов. Если поменять местами два разных вектора в базисе , то получится другой базис . Порядок векторов в базисе фиксируют для того, чтобы задать определенный порядок коэффициентов разложения произвольного вектора. Это позволяет заменить линейную комбинацию, представляющую вектор, упорядоченным набором ее коэффициентов и тем самым упростить запись. Порядок векторов в базисе определяется их нумерацией.

Базис линейного пространства определяется неоднозначно. Если – базис, то векторы также образуют базис этого же линейного пространства.

Теорема 1.2. При сложении любых двух векторов в линейном пространстве их координаты в одном и том же базисе складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

□ Действительно, пусть два вектора в базисе имеют следующие разложения

где – координатные вектор-столбцы векторов в базисе . Рассмотрим вектор . Тогда

то есть вектору в базисе соответствует координатный вектор-столбец . ■

Следующая теорема является непосредственным следствием определения базиса линейного пространства.

Теорема 1.3. Базис является минимальной порождающей системой векторов. Базис является максимальной линейно независимой системой векторов.

Первое утверждение теоремы означает, что базис порождает линейное пространство, и любая система векторов, являющаяся частью базиса, не является порождающей это пространство. Если из базиса удалить хотя бы один вектор, то полученная система не будет являться порождающей пространство.

Второе утверждение означает, что если дополнить базис любым вектором этого пространства, то полученная система (которая будет являться линейно зависимой), не является базисом пространства.

Определение 1.11. Размерностью пространства называется количество векторов в некотором (а значит, и в любом) базисе этого пространства

Если – некоторый базис в , то пишут . При этом называют - мерным (конечномерным) линейным пространством.

Отметим также следующие очевидные свойства базиса линейного пространства.

1) Если – линейно независимая система векторов пространства и любой вектор можно представить в виде разложения (1.9) единственным образом, то и система векторов является базисом в .

2) Пусть и – некоторая система векторов, причем . Тогда система векторов является линейно зависимой.