Понятие линейного пространства

ЛЕКЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»

Направление 080100

«Экономика»

Очная форма обучения

Рязань 2012

Темы 7, 8. Линейные и евклидовы пространства

Понятие линейного пространства

Центральное место среди всех понятий линейной алгебры занимает понятие линейного пространства.

Определение 1.1. Непустое множество элементов (векторов) , …,над которыми определены операции сложения двух векторов (при всех : ) и умножения вектора на число (при всех , : ) так, что выполняются условия (аксиомы):

: при всех ;

: при всех ;

: существует вектор такой, что для каждого ;

: для каждого существует вектор такой, что ;

: для каждого ;

: для каждого , при всех ;

: для каждого , при всех ;

: при всех , для каждого ,

называется линейным пространством.

Согласно определению линейного пространства сумма определена для любых элементов из и всегда является элементом множества . При этом говорят, что множество замкнуто относительно операции сложения. Аналогично, согласно тому же определению, множество замкнуто относительно операции умножения его элементов на действительные числа.

Прокомментируем аксиомы линейного пространства. Условия , называются соответственно аксиомами коммутативности и ассоциативности относительно сложения векторов. Условие есть аксиома существования нулевого вектора в пространстве. Условие есть аксиома существования противоположного вектора для каждого вектора пространства. Условие означает, что число 1 есть нейтральный элемент относительно умножения его на вектор пространства. Условие означает ассоциативность умножения на число. Условия и означают, что умножение на число и сложение связаны законом дистрибутивности по числам и векторам соответственно.

В определении линейного пространства важно не только то, из каких элементов состоит базовое множество , но и как введены операции над элементами этого множества. Одно и то же множество при одних операциях может быть линейным пространством, а при других – нет.

Сформулируем простейшие свойства линейного пространства, непосредственно следующие из аксиом линейного пространства.

1) Линейное пространство имеет только один нулевой вектор .

2) Каждый вектор линейного пространства имеет только один единственный противоположный. Противоположным к нулевому вектору является сам нулевой вектор.

3) Если есть противоположный к элементу линейного пространства, то вектор является противоположным к вектору , то есть

.

4) Произведение произвольного элемента линейного пространства на число 0 равно нулевому вектору:

5) Вектор , противоположный данному вектору , равен произведению вектора на число :

.