Характеристическое уравнение

Для определения собственных значений оператора выберем в произвольный базис и запишем соотношение (10.3) в матричном виде: , или (10.4),

где - матрица оператора , - столбец из координат вектора .

Система уравнений (10.4) - линейная однородная с квадратной матрицей , поэтому она имеет ненулевое решение тогда, и только тогда, когда определитель матрицы равен нулю. Уравнение называется характеристическим уравнением. Определитель является многочленом степени от переменной и называется характеристическим многочленом матрицы (оператора ). Каждое собственное значение оператора является корнем характеристического уравнения. Обратно, каждый корень характеристического уравнения является собственным значением оператора , так как в этом случае система (10.4) имеет ненулевое решение. Множество всех собственных значений оператора называется его спектром. Для нахождения собственных векторов, соответствующих собственному значению , необходимо решить систему (10.4) при .