Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Линейные отображения и операторы13.1. Преобразование координат вектора при переходе от одного базиса к другому в линейном пространстве. Вернемся к линейным пространствам вообще – произвольным и произвольной (но конечной) размерности. До сих пор мы рассматривали пространства с некоторым фиксированным базисом. В этом базисе каждый вектор имел свои координаты, которые определялись однозначно. Посмотрим, как изменятся координаты вектора, если один базис линейного пространства заменить другим. Итак, пусть в линейном пространстве зафиксирован базис . Произвольный вектор имеет некоторое разложение по этому базису: . Возьмем теперь другой базис . Каждый вектор нового базиса имеет свое разложение по старому базису: Матрица , составленная из координат нового базиса в старом базисе, называется матрицей перехода: . Заметим, что –й столбец матрицы перехода – это столбец координат -го вектора нового базиса в старом базисе. Теорема. Матрица перехода от одного базиса к другому невырождена, т.е. . Доказательство предложения следует из того, что столбцы этой матрицы линейно независимы, поскольку являются координатами векторов нового базиса в старом базисе. Пусть в новом базисе вектор имеет другие координаты: . Посмотрим, как связаны координаты в новом и старом базисах. Так как координаты вектора определены однозначно, то: Эти равенства можно записать в матричном виде: , или , где - это столбец координат вектора в старом базисе, а - столбец координат этого же вектора в новом базисе. Эту же формулу можно записать в виде , выразив новые координаты вектора через старые. 13.2. Линейные отображения. Пусть и - два линейных пространства, вообще говоря, различных (но оба пространства должны быть вещественными или оба комплексными). Назовем отображением линейного пространства в пространство закон, по которому каждому вектору из пространства ставится в соответствие единственный вектор из пространства . Кратко мы это будем записывать . Образ вектора при отображении будем обозначать . Определение. Отображение называется линейным, если для любых векторов и любых чисел выполняется равенство . Следует обратить внимание на то, что знак «+» в левой и правой частях равенства обозначает, вообще говоря, разные операции, поскольку и - различные пространства. То же самое относится и к операции умножения на число. Очевидно, что любое линейное отображение переводит нулевой вектор пространства в нулевой вектор пространства . Определение. Если , то линейное отображение называют линейным преобразованием, или линейным оператором. Приведем некоторые примеры линейных отображений. 1). Пусть - линейное пространство и пусть - некоторое число (вещественное или комплексное в зависимости от того, каким является пространство ). Поставим каждому вектору из пространства в соответствие вектор . Получившееся отображение является линейным отображением , которое называется гомотетией. 2). Пусть - некоторое линейное пространство размерности . Выберем в нем базис. Сопоставим каждому вектору столбец его координат. Это соответствие является линейным отображением пространства в арифметическое линейное пространство R n. Если же сопоставить каждому вектору его первую координату, то мы получим линейное отображение R. 3). Зафиксируем матрицу размера х . Возьмем арифметическое линейное пространство столбцов R n. Каждому элементу этого пространства поставим в соответствие столбец . Высота получившегося столбца равна . Мы получили линейное отображение из R n в R m. 4). Пусть - линейное пространство многочленов одной переменной . Каждому многочлену поставим в соответствие его производную по переменной . Поскольку производная многочлена является многочленом, мы получим линейное отображение этого пространства на себя. Пусть - линейное отображение. Определение. Множество образов всех векторов называется образом линейного отображения . Обозначение: . Определение. Множество векторов , для которых , называется ядром отображения . Обозначение: . Предложение. Ядро линейного отображения является подпространством в . Образ линейного отображения является подпространством в . Доказательство. 1). Ядро линейного отображения не пусто: оно всегда содержит нулевой вектор. Если , т.е. , то в силу линейности отображения для любых чисел . 2). Нулевой вектор пространства принадлежит , так как является образом нулевого вектора. Далее, если , т.е. существуют векторы такие, что , то . Предложение доказано. Задача. В примерах 1)-4) найти ядро и образ каждого отображения. 13.3. Координатная запись линейных отображений. Пусть - линейное отображение. Зафиксируем базис в пространстве и базис в пространстве . Пусть - произвольный вектор, который в базисе имеет разложение , и пусть его образ имеет в пространстве разложение . В силу линейности отображения . Получается, что образ вектора при линейном отображении может быть найден по координатам этого вектора, если известны образы базисных векторов. Каждый из векторов может быть разложен по базису : Тогда Поскольку координаты вектора определены однозначно, имеем: Эти равенства можно записать в матричном виде: . (*) Матрицу размера х назовем матрицей линейного отображения в паре базисов и . Чтобы различить отображение и его матрицу в некотором базисе, будем отображение обозначать письменной латинской буквой, а его матрицу – печатной: отображение: , оно имеет матрицу в данном зафиксированном базисе. Образ любого вектора можно найти с помощью этой матрицы, умножив ее слева на столбец координат вектора. Заметим, что для любой матрицы размера х существует линейное отображение, такое, что эта матрица является матрицей этого отображения в данной паре базисов. Рассмотрим отдельно случай, когда линейное отображение является линейным оператором, действующим на -мерном пространстве . Зафиксируем базис в пространстве . Тогда матрица линейного оператора является квадратной и можно говорить об определителе этой матрицы. Заметим, что если , то . Это следует из того, что система линейных уравнений имеет единственное нулевое решение. Если же , то эта система имеет ненулевое решение, и в этом случае ядро оператора нетривиально. Задача. Пусть - линейное пространство многочленов степени не выше . Очевидно, размерность этого пространства равна . Пусть - линейный оператор , сопоставляющий каждому многочлену его производную. Выберем в качестве базиса одночлены . Найдите матрицу оператора в этом базисе. 13.4. Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов. Посмотрим, как изменится матрица линейного отображения, если в пространствах и перейти к новым базисам. Пусть и - новые базисы. Обозначим через матрицу перехода от к , через - матрицу перехода от к . Тогда: , . Подставим в равенство (*): . Отсюда . Значит, при изменении базисов матрица этого отображения преобразуется в матрицу . В случае, когда линейное отображение является линейным оператором, вместо пары базисов мы имеем один базис в пространстве . Тогда при замене этого базиса матрица оператора преобразуется по формуле . Теорема. Определитель матрицы линейного оператора инвариантен, т.е. не меняется при переходе от одного базиса к другому. Доказательство. Воспользуемся тем, что определитель произведения матриц равен произведению определителей: Поскольку определитель матрицы линейного оператора не зависит от базиса, то можно говорить об определителе линейного оператора. Будем называть линейный оператор вырожденным, если его определитель равен нулю, и невырожденным в противном случае.
|