Линейная зависимость и независимость векторов

Пусть - система векторов и - произвольные числа. Вектор называется линейной комбинацией векторов с коэффициентами . Если все коэффициенты линейной комбинации равны нулю, то такая комбинация называется тривиальной (очевидно, что она равна нулю).

Векторы называются линейно независимыми, если из равенства нулю их линейной комбинации следует, что все коэффициенты комбинации равны нулю , т.е. равна нулю только их тривиальная линейная комбинация.

Система векторов называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация векторов, равная нулю.

Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов системы является линейной комбинацией других.

Любая подсистема линейно независимой системы векторов линейно независима. Линейная зависимость двух геометрических векторов означает, что они коллинеарны; линейная зависимость трех векторов означает, что они компланарны.

Вопрос о линейной зависимости векторов пространства сводится к вопросу о существовании ненулевого решения однородной системы уравнений, коэффициенты которой равны соответствующим координатам векторов .