Теорема о линейной независимости ортогональной системы векторов евклидова пространства

12. Ортогональный и ортонормированный базис евклидова пространства. Процесс ортогонализации.

Пусть некоторые системы элементов евклидового пространства. Данная система векторов наз. ортогональной, если .

Теорема: всякая система попарно ортогональна ненулевых векторов линейно независима.

Док-во: пусть ортогональная система векторов, покажем, что она линейно независима:

, где . Умножим это равенство скалярно на вектор :(Лена, я тебя очень люблю(твой Сергей))

,

, тогда .

Замечание: если ортогональная система ненулевых векторов содержит n-векторов, где n-размерность пространства, то данная система векторов является базисом пространства. Если кроме того в ортогональном базисе все векторы имеют единую систему, то базис называется ортонормированным. (Лена, я тебя очень люблю(твой Сергей))

Теорема: во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Док-во: пусть какой-нибудь базис. По данному базису будем строить ортонормированный базис .

- выберем (в качестве выберем ).

, число подберем таким образом, чтобы вектор был ортогонален , .

.

, где - такие, что - ортогонален двум предыдущим.

.

.

.

Аналогично получим , .

- такие, что .

Продолжим этот процесс дальше, мы получим ортогональный базис. Такой процесс получения ортогонального базиса наз. процессом ортогонализации. Покажем как из ортогонального базиса получить ортонормированный.

, .

В результате остается ортогональным базисом и все векторы в этом базисе имеют норму (1)

.