Уравнение энергии и уравнение Бернулли для энергоизолированного изоэнтропийного течения

Энергоизолированное изоэнтропное течение. Такое течение происходит без энергетического обмена с внешней средой (Qе=0, L=0) и без трения (Lr=Qr=0). При этом автоматически соблюдаются условия изоэнтропности (изоэнтропийности) процесса. Уравнение энергии имеет тот же вид, что и для энергоизолированного течения (2.18) или (2.19)

C_p(T₁-Т₂) + (w₁²- w₂²)/2 = 0,

C_pT₁+ w₁²/2 = C_pТ₂+ w₂²/2,

а уравнение Бернулли записывается так:

₁²∫(dp/ρ)+(w₂²- w₁²)/2 =0. (2.22)

Здесь также при вычислении интеграла связь между давлением и плотностью устанавливается уравнением изоэнтропы. Этот частный случай применяется довольно широко. Например, в теоретической газодинамике большинство задач рассматривается в предположении именно такого вида течения.

В дифференциальной форме уравнения (2.18) и (2.22) имеют следующий вид:

C_pdT + d(w²/2) = 0, (2.23)

dp/ρ + d(w²/2) = 0. (2.24)

Рассмотрим еще две весьма употребительных формы записи уравнения Бернулли для энергоизолированного изоэнтропного течения. Интегрируя уравнение (2.24), имеем [6]

∫(dp/ρ) + w²/2 = const.

Используя уравнение изоэнтропы

p/ρ^k = B = const,

и следующие очевидные соотношения

ρ^k = (p/B); ρ = (p/B) ^1/k; B ^1/k = (p/ρ^k)^1/k =p^1/k/ρ;

найдем значение интеграла

∫(dp/ρ) =∫(dp/(p/B) ^1/k)= B ^1/k∫(dp/p ^1/k)= B ^1/k∫p ^-1/kdp=

= B ^1/kp ^(1-1/k)/(1-1/k)= p^1/k∙ p ^(1-1/k)∙ k/ρ∙(k-1) =

=(k/(k-1))(p^1/k∙ p ^(k-1)/k/ρ) = (k/(k-1)) p/ρ.

и, подставив его в предыдущее уравнение, получим

(k/(k-1)) p/ρ + w²/2 = const. (2.25)

Если сопоставить уравнение (2.25) с уравнением Бернулли для горизонтального течения идеальной несжимаемой жидкости

p/ρ + w²/2 = const,

то можно заметить, что они отличаются только первым слагаемым: для газа коэффициент, стоящий перед p/ρ равен k/(k-1) тогда как для несжимаемой жидкости он равен 1. Таким образом, величина k/(k-1) учитывает влияние сжимаемости.

Если воспользоваться соотношением, с помощью которого определяется скорость распространения звука a²= kRT= kp/ρ, и преобразовать первое слагаемое уравнения (2.25), то последнее приобретает вид:

a/(k-1) + w²/2 = const. (2.26)

Эта форма записи уравнения Бернулли широко применяется в теоретической газодинамике.

& [1] с.11…19, с.24…34. [3] с.31…36. [4] с.39..42. [5] с.412…415.

& [8] с.187, с.194…195.

О с н о в н а я л и т е р а т у р а

1) Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. - М.: Наука, 1976. - 888 с.

2) Виноградов Б.С. Прикладная газовая динамика. - М.: Изд. Уни­верситета дружбы народов им. Патриса Лумумбы, 1965. - 348 с.

3) Дейч М.Е. Техническая газодинамика. -М.: Энергия, 1974. - 592 с.

4) Дейч М.Е., Зарянкин А.Е. Газодинамика: учебное пособие для вузов. - М.: Энергоатомиздат, 1984. - 384 с.

5) Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика: учебник для вузов по специаль­ности "Гидравлические машины и средства автоматики". - М.: Машиностроение, 1987. - 440с.

6) Повх И.Л. Техническая гидромеханика. -М.: Машиностроение, 1976. - 504с.

7) Самойлович Г.С. Гидрогазодинамика. -М.: Машиностроение, 1990. - 384 с.

8) Сергель О.С. Прикладная гидрогазодинамика: учебник для авиа­ционных вузов. - М.: Машиностроение, 1981. - 374 с.

[1] Понятие «звуковой барьер» употребляют еще в ином смысле, подразумевая комплекс технических трудностей, которые возникают при попытке перейти скорость звука и достигнуть сверхзвуковой скорости полета.

[2] Эта формула известна также из термодинамики, где она рассматривается в разделе истечения газов.

[3] См. файл Уравнение энергии.pdf

[4] См. файл Параметры торможения.pdf

[5] Необходимо заметить, что это уравнение было получено в наши дни. Имя Даниила Бернулли ему присвоено потому, что оно является обобщением известного в гидродинамике уравнения Бернулли на случай течения газа.

[6] Берется неопределенный интеграл.

Date: 2015-09-03; view: 1057; Нарушение авторских прав