Скорость звука

Скорость звука – скорость распространения в упругой среде малых возмущений. Малыми или слабыми принято называть такие возмущения среды, в которых местное изменение давления среды в точке возмущения, т.е. амплитуда давления, пренебрежимо мало по сравнению с общим давлением. Понятие скорости звука является одним из важнейших в теории течения сжимаемой жидкости.

Рассмотрим процесс распространения малого (слабого) возмущения в сжимаемой среде. Пусть неподвижная сжимаемая жидкость с заданными параметрами r, p, T находится в длинной трубе постоянного по длине сечения, ограниченной слева поршнем (см. рис.21). В некоторый момент времени поршень начинает двигаться слева направо с постоянной скоростью W и «наталкивается» на неподвижную жидкость. «Слой» жидкости, непосредственно примыкающий к поршню, в результате движения поршня несколько уплотняется (сжимается) и давление в нем повышается – до величины p+dp; кроме того, жидкость в этом «слое» из состояния покоя приходит в движение со скоростью W. Далее сжимается и приходит в движение «слой» жидкости, примыкающий к «первому слою», и т.д. Можно представить себе движущуюся в жидкости «слабую волну сжатия», подобную той, которая возникает при трогании с места длинного железнодорожного состава – вагоны не одновременно, а последовательно (поочерёдно) приходят в движение благодаря упругости сцепки. Другим примером может служить картина падающих костяшек домино, выстроенных в длинный ряд.

Таким образом, в жидкости распространяется слабая волна сжатия, фронт которой можно представить в виде перемещающегося вдоль трубы (точнее - вдоль жидкости) сечения А-А, отделяющего сжатую – «возмущённую», область жидкости с параметрами p+dp, r+dr, T+dT (слева от сечения А-А)от невозмущённой области жидкости, т.е. области, куда возмущения ещё не проникли (справа от сечения А-А). Если перемещение сечения А-А за время dt обозначить dx, то скорость распространения фронта слабой волны в этом случае может быть выражена как dx/ dt. Скорость движения фронта слабой волны относительно жидкости называют скоростью звука и обозначают обычно а. «Относительность» особенно важно иметь в виду, поскольку жидкость в общем случае в момент возникновения в ней возмущения не обязательно должна находиться в состоянии покоя, а может изначально двигаться с некоторой скоростью.

За время dt фронт волны – сечение А-А, переместится на расстояние dx = a× dt и при этом будет сжат «новый слой» жидкости, т.е. произойдет уплотнение жидкости - увеличение плотности распределения массы в элементарном объёме dV = F× dx = F× a× dt, заключённом между начальным и конечным в указанный промежуток времени положениями сечения А-А. Поскольку в рассматриваемом элементарном объёме dV нет источников и стоков, то приращение массы жидкости в этом объёме может происходить только за счет притока в него за время dt некоторого количества жидкости из «возмущённой» области со скоростью W.

Очевидно, что из уравнения неразрывности для рассматриваемого случая:

dV× dr = (r+dr)×F×W× dt или F× a× dt× dr = (r+dr)×F×W× dt,

где F – площадь поперечного сечения трубы, dV× dr - изменение массы жидкости в элементарном объёме dV; (r+dr)×F×W× dt – масса жидкости, притекающая в элементарный объём dV за время dt; с точностью до малых величин первого порядка (пренебрегая бесконечно малой величиной второго порядка F×W× dr× dt) можно получить следующее соотношение:

a× dr = rW. (1)

Применим к рассматриваемому элементарному объёму dV закон о сохранении количества движения, не учитывая при этом действия сил трения в жидкости (допустим, что жидкость идеальная). Изменение количества движения элементарного объёма d(mW) (здесь m – масса элементарного объёма) должно быть равно импульсу внешних сил, приложенных к этому объёму. В рассматриваемом случае в качестве внешних сил выступает только поверхностная сила, обусловленная разностью (градиентом) давления в звуковой волне dp. Заменяя массу произведением плотности на объём, и учитывая, что скорость движения рассматриваемого объёма в начальный момент времени (до прохождения через него фронта волны) была равна нулю, получим уравнение движения (уравнение количества движения) для рассматриваемого элементарного объёма:

(r+dr)×F× a×W× dt = F× dp× dt,

где слева стоит приращение количества движения элемента, а справа – импульс сил, действующих на элемент за время dt. Из уравнения движения, рассуждая аналогично предыдущему (пренебрегая бесконечно малой величиной второго порядка F× a×W× dr× dt), получим ещё одно соотношение

arW = dp. (2)

Исключив из полученных соотношений (1) и (2) скорость W, получим уравнение для определения скорости звука:

. (3)

Для того чтобы воспользоваться уравнением (3) нужно знать, как происходит процесс распространения звуковых волн, т.е. для каких условий следует вычислять производную dp/dr.

Одним из первых, кто практически решил эту задачу, был Исаак Ньютон. Он вычислил скорость звука в воздухе при атмосферном давлении и комнатной температуре (при этих параметрах воздух с хорошим приближением можно рассматривать как совершенный газ, для которого справедливо уравнение состояния p=rRT). Ньютон считал, что процесс распространения звука в воздухе происходит в изотермических условиях и производную надо брать при постоянной температуре, т.е. при условии T=const. Воспользовавшись уравнением Бойля-Мариотта для изотермического процесса в совершенном газе pv= const или p=r×const, для производной получим

,

а для скорости звука

. (4)

Однако при прямых измерениях скорости звука в воздухе было получено значение а примерно на 20% превосходящее величину, вычисленную Ньютоном. Причина этих расхождений была установлена Лапласом, который отметил, что поскольку звуковые колебания (волны) в упругой среде (воздухе) распространяются очень быстро, то можно предположить, что сколь-нибудь заметного теплообмена между зонами разряжения и сжатия звуковой волны и окружающей средой при этом не успевает произойти (что, кстати, хорошо подтверждается опытом). Поэтому, процесс распространения звуковой волны можно считать адиабатным и изоэнтропийным и производную в (3) нужно брать при постоянной энтропии, т.е. при условии S=const.

Уравнение Лапласа для скорости звука

. (5)

В случае изоэнтропийного процесса плотность и давление будут связаны уравнением изоэнтропы p/r^k =const.

Тогда dp = k×r^k-1× dr×const и dp/dr = k ×r^k-1×const,

определяя постоянную из уравнения изоэнтропы, для производной (¶p/¶r)_S получим

, (6)

а для скорости звука

. (7)

Для совершенного газа,имея в виду, что p/r = RT, может быть установлена однозначная связь скорости звука с абсолютной температурой газа

. (8)

Из соотношения (8) видно что, чем выше температура газа, тем больше скорость распространения звуковых волн в нём. Кроме того, скорость звука зависит от физических свойств газа (k и R). Этот вывод находится в полном соответствии с газокинетическими представлениями о процессе распространения малых возмущений в среде, состоящей из движущихся молекул. Скорость распространения возмущений должна зависеть от скорости движения молекул, которая, в свою очередь, определяется температурой. Известно, что скорость движения молекул газа (средняя скорость) близка к скорости звука. В этой связи необходимо подчеркнуть, что квадрат числа Маха M²=W²/a² определяет соотношение в потоке средней кинетической энергии направленного движения газа как целого и средней кинетической энергии беспорядочного движения молекул, т.е. частиц, составляющих это целое.

Следует иметь в виду, что формула (7), как и уравнение Лапласа (5) справедливы и для газов и для капельных жидкостей и для твердых упругих тел, в то время как формула (8) имеет отношение только к совершенному газу.

В несжимаемых средах r = const, dr = 0 и a=¥, т.е. звуковые волны распространяются мгновенно.