Приклад виконання завдання. Вертикальний вал I (рис 6.6) із стану спокою приводиться до руху моментом М=(12-5w) Н·м

Вертикальний вал I (рис 6.6) із стану спокою приводиться до руху моментом М=(12-5w) Н·м.

Знайти кутову швидкість вала I (водило) при t₁=2c, якщо r₁=0,4m; r₂=0,2m; r₄=1,0m. Зубчасті колеса з нерухомою віссю 1 та рухомою 2 і 3 – однорідні суцільні диски масами: m₁=1кг, m₂=2кг, m₃=3кг. Силами тертя, масами рухомих осей та водила (вала I) знехтувати.

Розв’язання. Планетарний механізм (рис 6.6) покажемо в площині його руху – горизонтальній (рис 6.7) Механізм рухається під дією зовнішніх сил: обертального моменту М; реакції циліндричного шарніра х₁ та у₁; реакції нерухомого колеса 4 – S_A, N_A, S_B, N_B; сили тяжіння P₁, P₂, P₃ (направлені перпендикулярно до площини рис. 6.7).

Для визначення кутової швидкості водила I застосуємо теорему про зміну кінетичної енергії матеріальної системи в диференціальному вигляді

Рисунок 6.1

Рисунок 6.2

Рисунок 6.3

Рисунок 6.4

Рисунок 6.5

Рисунок 6.6

(6.1)

де Т – кінетична енергія планетарного механізму, N^e та Nⁱ потужність зовнішніх та внутрішніх сил системи.

Оскільки в планетарному механізмі тіла тверді, то потужність внутрішніх сил дорівнює нулю (Nⁱ=0).

Кінетична енергія системи в даний момент часу складається з кінетичної енергії зубчастого колеса 1, кінетичних енергій рухомих зубчастих коліс (сателітів) 2 та 3.

(6.2)

Оскільки зубчасте колесо 1 обертається навколо нерухомої осі, то його кінетична енергія визначається за формулою

(6.3)

де - момент інерції колеса відносно головної центральної осі, що є віссю обертання тіла 1, w₁ – кутова швидкість тіла 1.

Сателіти (рухомий блок зубчастих коліс 2 та 3) переміщується плоскопаралельно і їх кінетична енергія визначається таким чином:

(6.4)

Рисунок 6.7

де V_c – швидкість центра мас тіл 2 та 3, та - моменти інерції тіл 2 та 3 відносно головної центральної осі, w₂=w₃ – кутова швидкість сателітів (блока коліс 2 та 3).

Знайдемо співвідношення між кутовими швидкостями тіл та швидкістю V_c, записавши їх через кутову швидкість водила I. Оскільки точка А (рис. 6.7) є миттєвим центром швидкостей сателітів 2 та 3, тоді очевидно що,

, , (6.5)

точка С також належить водилу I.

(6.6)

Тоді з (6.5), враховуючи (6.6).

, (6.7)

Таким чином, кінетична енергія механічної системи (6.2), після підстановки в неї (6.3) і (6.4), та маючи на увазі (6.6) і (6.7), запишеться

Або

(6.8)

Потужність зовнішніх сил

(6.9)

На підставі теореми (6.1) і формул (6.8) та (6.9) отримаємо:

(6.10)

де M=(12-5 w) – обертальний момент, що діє на водило I.

Оскільки , тоді (6.11)

Початкові умови:

При t=0, w=0. (6.12)

В диференціальному рівнянні (6.11) розділимо змінні w та t.

(6.13)

Інтегруємо диференціальне рівняння (6.13) при початкових умовах (6.12).

Або

Виконуємо подальші перетворення:

(6.14)

Кутова швидкість водила I при t₁=2c

де , - радіус зубчастого колеса 3.