И примеры

Пусть V – линейное пространство. Каждой паре векторов поставим в соответствие действительное число (обозначим (x, y) или ), называемое скалярным произведением векторов x, y и удовлетворяющее следующим аксиомам:

E1) скалярное произведение векторов x, y коммутативно, т. е.

E2) скалярное произведение векторов дистрибутивно относительно сложения векторов, т. е. для любых

E3) числовой множитель можно выносить за знак скалярного произведения, т. е.

E4) скалярный квадрат вектора неотрицателен, т. е. причем тогда и только тогда, когда

Линейное пространство V со скалярным произведением, удовлетворяющим аксиомам E1)–E4), называется евклидовым пространством и обозначается Е, n-мерное евклидово пространство обозначается

Теорема (неравенство Коши–Буняковского). Для любых двух векторов x, y евклидова пространства E справедливо неравенство:

В евклидовом пространстве E для любого вектора x определяется длина (норма) этого вектора:

обладающая следующими свойствами:

D1) если и тогда и только тогда, когда

D2)

D3) (неравенство треугольника).

В евклидовом пространстве E для любых векторов x, y определяется угол между векторамиx, y, косинус которого находится по формуле:

Два вектора евклидова пространства E называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Система векторов называется ортогональной, если каждая пара векторов этой системы ортогональна.

Вектор, длина которого равна единице, назывется нормированным. Для любого вектора нормированный вектор находится по формуле:

Базис евклидова пространства который удовлетворяет условиям ( – символ Кронекера), называется ортонормированным базисом.

Базис трехмерного пространства геометрических векторов является ортонормированным.

Пусть – ортонормированный базис пространства и векторы разлагаются по векторам этого базиса:

Тогда имеем:

(23.3)

(23.4)

(23.5)

Пример 1. Доказать, что евклидовым пространством является:

1) множество всех геометрических векторов если скалярное произведение векторов задать по формуле

2) множество всех действительных функций, определенных и непрерывных на отрезке со скалярным произведением

3) арифметическое линейное пространство относительно скалярного произведения, определяемого по формуле где

Решение. Проверка аксиом Е1)–Е4) осуществляется в любом курсе аналитической геометрии.

Выполнение аксиом E1)–E4) следует из свойств определенного интеграла.

Непосредственно проверяется справедливость аксиом E1)–E4).

Пример 2. Доказать, что ортогональная система векторов не содержащая нулевых векторов, состоит из линейно-независимых векторов.

Решение. Пусть тогда

Если то Следовательно, векторы – линейно-независимые.

Пример 3. Найти угол между векторами и в

Решение. Используя формулы (23.3)–(23.5), находим:

Получаем