Линейное пространство, определение и примеры

Пусть F – множество всех действительных чисел R или множество всех комплексных чисел C.

Множество V элементов x, y, z, … называется линейным (векторным) пространством над числовым множеством F, если для каждых двух элементов x и y из V определена их сумма для каждого и каждого числа определено их произведение причем выполняются следую­щие аксиомы:

А1) – коммутативность сложения;

А2) – ассоциативность сложения;

А3) существует такой элемент называемый нулевым, что х + 0 = х,

А4) для каждого элемента существует такой элемент называемый противоположным к x, что

А5)

А6) для всех и

А7)

А8)

Элементы линейного (векторного) пространства называются векторами. Если F – множество действительных чисел R или множество комплексных чисел C, то векторное пространство V над множеством F называется соответственно действительным или комплексным линейным пространством. Далее, в основном, будут рассматриваться действительные линейные пространства.

Векторы линейного пространства V называются линейно-зависимыми, если существуют числа не все равные нулю, такие, что

(23.1)

Векторы называются линейно-независимыми, если равенство (23.1) выполняется только при условии

Вектор x разлагается по векторам (линейно выражается) через векторы если Если векторы линейно-зависимы, то хотя бы один из них линейно выражается через остальные.

Линейно-независимая система векторов называется базисом пространства, если любой вектор этого пространства разлагается по векторам Линейное пространство называется конечномерным, если его базис состоит из конечного количества векторов, и бесконечномерным – в противном случае.

Количество n векторов базиса конечномерного пространства V называется размерностью пространства V, что записывают или где

Каждую линейно-независимую систему векторов конечномерного пространства можно дополнить до базиса

Если – базис пространства то любой вектор x из имеет единственное разложение

(23.2)

Числа называются координатами вектора x в базисе при этом записывают

Если некоторое подмножество само образует линейное пространство относительно введенных в V операций сложения и умножения на число, то называется подпространством линейного пространства V.

Пусть – множество всех матриц-строк, имеющих n элементов, с обычными операциями сложения матриц и умножения матрицы на число:

а)

б)

Для этого множества выполняются аксиомы А1)–А8). Следовательно, это множество является линейным пространством. Строки образуют базис этого пространства, поэтому оно n- мерно. Построенное пространство называется арифметическим или координатным линейным пространством и обозначается

Теорема. Пусть – линейное пространство размерности n. Тогда существует взаимно-однозначное соответствие между и координатным пространством

Из этой теоремы следует, что при изучении свойств пространства достаточно рассмотреть соответствующие свойства пространства

Пример 1. Показать, что множество всех многочленов образует линейное пространство, найти базис и определить размерность пространства всех многочленов с коэффициентами из множества степень которых не превосходит n.

Решение. Нетрудно проверить, что множество всех таких многочленов образует линейное пространство относительно обычных операций сложения многочленов и умножения многочлена на число, т. е. выполняются аксиомы А1)–А8). Рассмотрим произвольный многочлен тогда Следовательно, линейно выражается через многочлены При этом тогда и только тогда, когда т. е. – линейно-независимые векторы, они образуют базис векторного пространства причем

Пример 2. Определить размерность линейного пространства всех действительных функций F (R) с обычными операциями сложения функций и произведения функции на число.

Решение. Непосредственно проверяются аксиомы А1)–А8) линейного пространства, следовательно F (R) является векторным пространством. Далее, функции являются линейно-незави­симыми векторами для любого n, т. е. F (R) не имеет конечного базиса и является бесконечномерным.

Пример 3. Доказать, что множество M (m, n) всех прямоугольных действительных (размера ) матриц с обычными операциями сложения матриц и умножения матрицы на число является линейным пространством. Найти его размерность.

Решение. Поскольку выполняются аксиомы А1)–А8), то M (m, n) – линейное пространство (убедитесь в этом самостоятельно).

Рассмотрим матрицу в которой элемент, сто­ящий в i -й строке и j -м столбце, равен 1, а все остальные элементы равны нулю. Всего таких матриц будет Для любой матрицы имеем: Из этого равенства следует, что любая матрица А линейно выражается через матрицы Если (нулевая матрица), то Следовательно, векторы – линейно-независимы и образуют базис векторного пространства M (m, n). Таким образом, размерность этого пространства равна В частности, для квадратных матриц порядка n она равна

Пример 4. Доказать, что множество всех геометрических векторов в трехмерном пространстве образует трехмерное векторное пространство V.

Решение. Если рассмотреть в трехмерном пространстве декартову систему координат с соответствующими ортами то любой вектор единственным образом разлагается по

В стандартном курсе векторной алгебры показывается, что операции сложения векторов и умножения вектора на действительное число удовлетворяют аксиомам А1)–А8). Поэтому множество всех геометрических векторов V образует линейное пространство.

Очевидно, что в случае равенства выполняется и векторы – линейно-независимы. Таким образом, пространство V имеет размерность 3 и отождествляется с если задан базис

Пример 5. Описать геометрически все подпространства линейного пространства

Решение. Любое векторное пространство V имеет два тривиальных подпространства V и Если – подпространство пространства то в имеется максимальная система линейно-независимых векторов, предположим, что m – число векторов этой системы. Если то если то Если то отожествляется с множеством всех векторов некоторой прямой, проходящей через начало координат. В случае множество можно считать множеством всех векторов плоскости, проходящей через начало координат. Всевозможные такие прямые и плоскости геометрически и описывают все нетривиальные подпространства пространства

Пример 6. Доказать, что векторы и образуют базис пространства и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Как известно из векторной алгебры, базис в образует всякая тройка векторов, для которой смешанное произведение не равно нулю. Вычислим его для заданных векторов:

Мы убедились, что векторы и образуют базис. Чтобы определить координаты вектора разложим его по векторам этого базиса.

Предположим, что

или в координатной форме

В координатной форме последнее равенство равносильно системе уравнений:

Для нахождения неизвестных коэффициентов решим систему методом Крамера. Вычислим определитель этой системы

Далее находим

Используя формулы Крамера, находим:

Таким образом в базисе справедливо разложение т. е.

Date: 2015-09-03; view: 2029; Нарушение авторских прав