Lj — оператор проекции момента импульса на ось вращения j

У этих операторов имеются собственные векторы (собственные функции):

Параметры входящие в эти выражения представляют собой, с одной стороны, собственные значения операторов, а, с другой стороны, допустимые значения наблюдаемых: p_i — величина проекции импульса на направление r, L_i — величина проекции момента импульса на ось вращения j.

Собственные состояния операторов P и L отличаются тем, что для них указанные наблюдаемые (P и L) имеют строго определенные значения и выражаются конкретными числами (P_i и L_i), а не функциями распределения. Кроме того, собственные состояния обоих операторов также образуют базисные наборы, которые можно использовать для представления произвольных состояний в виде ЛК.

Одномерность времени приводит к тому, что энергия является скалярной величиной. Пространство имеет три измерения и поэтому новые наблюдаемые можно рассматривать как векторные величины.

Например, сдвиг вдоль произвольного радиус-вектора r можно рассматривать как совокупность трех сдвигов вдоль декартовых осей:

dr = (dx, dy, dz)

В результате можно ввести сразу три оператора проекций импульса и рассматривать их как компоненты одного векторногооператора импульса:

P = (P_x, P_y, P_z)

(Правило применения такого оператора к некоторой функции состоит в том, что эту функцию следует подвергнуть трем отдельным преобразованиям — P_x, P_y и P_z. Следовательно, результатом действия векторного оператора на исходную функцию будут сразу три новых функции, полученные в ходе таких преобразований.)

Любой поворот вокруг произвольной оси можно рассматривать как последовательность поворотов вокруг декартовых осей:

d j= (d j _x, d j _y, d j _z)

и ввести три оператора проекций момента импульса, которые можно рассматривать как компоненты одного векторного оператора момента:

L = (L_x, L_y, L_z)

Иногда используют еще две конструкции:

оператор квадрата импульса P ² = P_x ² + P_y ² + P_z ²

оператор квадрата момента L² = L_x ²+ L_y ² + L_z ²