Общая схема исследования функции

1. Найти область определения функции, исследовать ее поведение на границах области определения.

2. Найти точки разрыва и установить их характер с помощью односторонних пределов.

3. Исследовать периодичность, четность (нечетность), найти точки пересечения графика с осями координат.

4. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции.

5. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции.

6. Найти асимптоты графика.

7. Построить график, используя результаты исследования.

Задача 4. Провести полное исследование и построить график функции .

1. Найдем область определения . из условия , , , следовательно,

2. , – точки разрыва. Найдем односторонние пределы:

, ,

, .

Отсюда следует, что и – точки разрыва второго рода, и – вертикальные асимптоты.

3. Для установления симметрии графика функции

найдем = – , это означает, что – нечетная функция, и ее график симметричен относительно начала координат. Достаточно провести ее исследование для . Очевидно, что функция не является периодической. Точка О (0,0) является единственной точкой пересечения с осями координат, т.к. .

4. Первая производная: ,

Критические точки найдем из условий , .

а) , , , .

Решая биквадратное уравнение, найдем .

б) , , , .

Таким образом, критические точки функции: , , а точки не входят в область определения, следовательно, не являются критическими точками. Проверим критические точки на экстремум по первому признаку.

, при , , при

Так как производная меняет знак при переходе через критическую точку, то в точке функция имеет минимум. Составим таблицу.

		(0, 1)		(1; 2.05)	2,05	(2,05, )
			не сущ.		(min) 3,4
		–	не сущ.	–		+

5. Найдем . Критические

точки второго рода найдем из условия , , ; при ,откуда . Так как не входят в область определения функции, то единственная критическая точка. Проверим знак второй производной при переходе через точку при ,

при . меняет знак с «+» на «–», значит, – точка перегиба, и график меняет вогнутость на выпуклость при переходе через критическую точку. Итак, в (0, 1) функция выпукла, а в – вогнута.

6. Найдем асимптоты. Наклонные асимптоты имеют вид: ;

= ,

, ,

отсюда уравнение наклонной асимптоты . Горизонтальные асимптоты отсутствуют, а вертикальные были найдены в п. 2.

7. По результатам исследования построим график. Так как

функция нечетная, то можно построить график для и отобразить его симметрично начала координат.

Варианты контрольных заданий для контрольной работы № 2

Задания

1. Найти первую производную для указанных функций.

2. Функция задана параметрически. Найти , .

3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на замкнутом отрезке.

4. Вычислить пределы, применив правило Лопиталя.

5. Исследовать функции по полной схеме и построить графики.

6. Вычислить приближенно значение выражения с помощью дифференциала.

Вариант 1

1. a) , б) ,

в) , г) , д) ;

2. ; 3. , ;

4. а) , б) ;

5. а) , б) ; 6. .

Вариант 2

1. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

2. 3. , ;

4. а) , б) ;

5. а) , б) ; 6. .

Вариант 3

1. а) , б) , в) ,

г) , д) ;

2. ; 3. ;

4. а) , б) ;

5. а) , б) ; 6. .

Вариант 4

1. а) , б) ,

в) , г) , д) ;

2. ; 3. ;

4. а) , б) ;

5. а) , б) ; 6. .

Вариант 5

1. а) , б) ,

в) , г) , д) ;

2. ; 3. ;

4. а) , б) ;

5. а) , б) ; 6. .

Вариант 6

1. а) , б) ,

в) , г) , д) .

2. ; 3. .

4. а) , б) ;

5. а) , б) ; 6. .

Вариант 7

1. а) , б) ,

в) , г) , д) ;

2. ; 3. ;

4. а) , б) ;

5. а) ; б) ; 6. .

Вариант 8

1. а) , б) ,

в) г)

д) ;

2. ; 3. ;

4. а) , б) ,

5. а) , б) ; 6. .

Вариант 9

1. а) , б) , в) ,

г) , д) .

2. ; 3. ;

4. а) , б) ;

5. а) , б) ; 6. .

Вариант 10

1. а) , б) , в) ,

г) , д) ;

2. ; 3. ;

4. а) , б) ;

5. а) , б) , 6. .

Вариант 11

1. а) , б) ,

в) , г) , д) ;

2. ; 3. , ;

4. а) , б) ;

5. а) , б) ; 6. .

Вариант 12

1. а) , б) , в) ,

г) , д) ,

2. ; 3. , ;

4. а) , б) ;

5. а) , б) ; 6. .

Вариант 13

1. а) , б) ,

в) , г) , д) ;

2. ; 3. , ;

4. а) , б) ;

5. а) , б) ; 6.

Вариант 14

1. а) , б) ,

в) , г) , д) ;

2. ; 3. , ;

4. а) , б) ;

5. а) , б) ; 6. .

Вариант 15

1. а) , б) ,

в) , г) , д) ;

2. ; 3. , ;

4. а) , б) ;

5. а) , б) ; 6. .

Вариант 16

1. а) , б) , в) ,

г) , д) ;

2. ; 3. , ;

4. а) , б) ;

5. а) , б) ; 6. .

Вариант 17

1. а) , б) , в) ,

г) , д) ;

2. ; 3. , ;

4. а) , б) ;

5. а) , б) ; 6. .

Вариант 18

1. а) , б) , в) ,

г) , д) ;

2. ; 3. , ;

4. а) , б) ;

5. а) , б) ; 6. .

Вариант 19

1. а) , б) , в) ,

г) , д) ;

2. ; 3. ;

4. а) , б) ;

5. а) , б) ; 6. .

Вариант 20

1. а) , б) , в) ,

г) , д) ;

2. ; 3. а) , б) ;

4. а) , б) ;

5. а) , б) ; 6. .

Литература обязательная

1. Арефьев К. П., Ивлев Е. Т., Тарбокова Т. В. Системы линейных уравнений: учебное пособие. – Томск: Изд. ТПУ, 1996.

2. Высшая математика. Часть I. Учебное пособие / К. П. Арефьев,
А. И. Нагорнова, Е. И. Подберезина, Г. П. Столярова, А. Н. Харлова. – Томск: Изд-во ТПУ, 2004. – 188 с.

3. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в примерах и задачах. Часть I. – М.: Высшая школа, 1980.

4. Каплан И. А. Практические занятия по высшей математике. Часть I. – М., 1971.

Учебное издание