Дифференциал функции и формула приближенного вычисления

Определение. Дифференциалом функции называется величина, пропорциональная бесконечно малому приращению аргумента , отличающаяся от соответственного приращения функции на величину более высокого порядка.

По определению производной: , откуда следует, что , где – бесконечно малая при , т. е. , тогда , где первое слагаемое и есть дифференциал

, , . (4)

Определение дифференциала позволяет использовать его в приближенных вычислениях, заменив вычисление функции ее дифференциалом. Рассмотрим приращение функции: , или , тогда

. (5)

Это и есть формула приближенного вычисления. Ошибка, получаемая при приближенных вычислениях, есть бесконечно малая высшего порядка, чем приращение аргумента, т. к.

.

Задача 1. Найти дифференциалы функций:

а) , б) , в) .

Решение: а) , найдем сначала и затем ;

б) , ;

в) , .

Задача 2. Найти приращение и дифференциал функции при и . Вычислить абсолютную и относительную ошибки, которые получаются при замене приращения функции ее дифференциалом.

Решение ,

;

Абсолютная ошибка , относительная ошибка

.

Задача 3. Вычислить приближенно а) , б) .

Решение. Чтобы воспользоваться формулой (5) надо составить функцию (по виду вычисляемого выражения) и выбрать начальные условия так, чтобы было мало, а можно было легко подсчитать. В случае а) выбираем , ,

, .

, ,

;

б) чтобы было мало, необходимо извлечь целую часть корня, т. е.

, откуда , , ,

, , ,теперь вычислим приближенно :

.