Производная неявной функции

Пусть уравнение не разрешено относительно функции , т.е. функция задана неявно. Чтобы найти производную , надо продифференцировать левую и правую часть уравнения, учитывая, что есть функция аргумента . Рассмотрим это правило на примерах.

Пример 1. Найти , если а) , б) .

Решение: а) , выразив , получим . ;

б) дифференцируя обе части этого уравнения, получим уравнение относительно : , ;найдем теперь .

Здесь – угол наклона касательной к графику функции и точке . Через две точки и кривой проведем секущую , ее угловой коэффициент . Двигая точку по кривой к точке , мы будем поворачивать секущую вокруг точки , в результате секущая стремится занять положение касательной, проведенной к графику в точке, а угол стремится к углу – наклона касательной, т.е. ,

где – угловой коэффициент касательной. Известное уравнение прямой используем как уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке , с угловым коэффициентом . Тогда уравнение касательной примет вид

(3)

Задача. Найти уравнение касательной к графику функции
а) в точке , б) , в точке .

Решение. а) Сначала вычислим ординату точки касания . Затем производную в точке ,

. Это угловой коэффициент касательной.

Подставим найденные параметры в уравнение (3)

– искомая касательная;

б) кривая задана параметрически; найдем координаты точки касания, подставив значение параметра в уравнение кривой: , . Для отыскания углового коэффициента воспользуемся формулой , , теперь запишем уравнение касательной , или .

Date: 2015-09-02; view: 488; Нарушение авторских прав