Наближене обчислення визначених інтегралів

Задачі практики приводять іноді до інтегралів, точне обчислення яких за формулою Ньютона-Лейбніца неможливе або утруднене: первісна підінтегральної функції може не виражатися через елементарні функції, відшукання первісної може вимагати надто громіздких обчислень, нарешті підінтегральна функція може бути задана таблицею чи графіком, а не аналітичним виразом. В таких випадках інтеграл доводиться обчислювати наближено за допомогою чисельних методів. Ми розглянемо тут два такі методи, найпростіші і в той же час широко використовувані як при ручних обчисленнях, так і для програмування на ЕОМ.

Рис. 23

Позначимо - ординати графіка підінтегральної функції в точках поділу. Задача полягає в тому, щоб дати вираз наближеного значення інтеграла через ці ординати.

Рис. 23

Тоді площа першої смужки
площа другої смужки

……

Площа ої смужки .

Додаючи ці площі, отримуємо наближене значення шуканого інтеграла:

Це і є правило або формула трапецій. Можна довести, що гранична абсолютна похибка цієї формули наближено пропорціональна , тобто Таким чином, при зменшенні кроку вдвічі похибка зменшується приблизно в 4 рази. Цим можна скористатися для наближеної (а для деяких функцій і точної) оцінки похибки. Для цього обирають число парним і обчислення інтеграла повторюють з подвоєним кроком. Нехай - точне значення інтеграла, - результат обчислення з кроком , - результат обчислення з кроком і - похибка результата . Тоді , звідки одержуємо оцінку .

Приклад. Розглянемо застосування формули трапецій на прикладі інтеграла, точне значення якого відоме . Оберемо , тоді , , , , , . Тоді . Похибка близько , тобто близько %.

б) Правило Сімпсона (правило парабол).

За правилом Сімпсона число береться парним. Позначимо, як і раніше, через - результат обчислення інтеграла за правилом трапецій з кроком , а - теж саме з подвоєним кроком. Для похибки результату було одержано вираз . Якщо до додати цю похибку, то результат очевидно стане точнішим. Тому природно покласти

Замінимо і їх виразами:

.

Тоді

,

звідки отримуємо

.

Це і є формула Сімпсона. Її називають також формулою парабол, тому що її можна отримати подібно до формули трапецій, але замінюючи на кожній парі частинних відрізків графік функції параболою, яка проходить через ті ж точки (а не ламаною, як у методі трапецій). Правило Сімпсона при незначному збільшенні обсягу обчислень значно точніше, ніж правило трапецій. Його гранична похибка наближено пропорціональна , тобто , і при зменшенні кроку в 2 рази зменшується в 16 разів.

Приклад. Розглянемо знову і оберемо, як і в попередньому прикладі, . Тоді , , , , , .

За формулою Сімпсона

.

Похибка близько 0,0045, тобто близько 0,23% і порівняно з похибкою правила трапецій менша в 22 рази.